在幾何學中,正多面體是同時具有等邊、等角和等面特性的多面體。在經典語境中,有許多描述上不同但實際上等價的定義存在,最常見的定義是每個面都是全等的正多邊形,且每個頂點都是相同數量且相同種類之正多邊形的公共頂點。例如立方體是一種正多面體,其每個面都是正方形,且每個頂點都是3個正方形的公共頂點。在中文環境中,一般被大眾認知的正多面體通常代表只有五種的凸正多面體,又稱為柏拉圖立體,其包括了正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體。然而在定義上,正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體,而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體,也可能是星形多面體、抽象多面體或扭歪多面體等。這些多面體除了五種凸正多面體外,還有四種非凸正多面體(克卜勒-龐索立體)、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。
在幾何學中,正多面體是一類對稱性可以在其各維度元素的集合(或稱標記[註 1])上傳遞的多面體。正多面體通常具有高度對稱性,其同時具有邊可遞,點可遞和面可遞的性質[註 2],換句話說,即正多面體是同時具有等邊、等角和等面特性的多面體。在經典語境中,有許多描述上不同但實際上等價的定義存在,最常見的定義是每個面都是全等的正多邊形,且每個頂點都是相同數量且相同種類之正多邊形的公共頂點。例如立方體是一種正多面體,其每個面都是正方形,且每個頂點都是3個正方形的公共頂點。
所有正多面體皆可以使用施萊夫利符號來表示,其可以計為{n, m}。其中n表示構成面的頂點數,m則表示與頂點相鄰的多邊形數量。在中文語境中,一般被大眾認知的正多面體通常代表只有五種的凸正多面體,又稱為柏拉圖立體,其包括了正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體。然而在定義上,正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體,而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體,也可能是星形多面體、抽象多面體或扭歪多面體等。這些多面體除了五種凸正多面體外,還有四種非凸正多面體(克普勒–龐索立體)、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。
一般常見的正多面體為五種正凸多面體,又稱為柏拉圖立體。除了這種凸多面體外,亦有非凸的正多面體,為四種星形正多面體,又稱為克普勒–龐索立體;以及五種正多面體的複合體。
廣泛地出現在文化中的五種正多面體。[2]
克卜勒-龐索立體的面同樣由正多邊形組成,但其面或邊有自我相交的情形,即非凸多面體。由於外觀如同星狀,因此又稱為星形正多面體。[3]
由多個同一種正多面體組合而成且具有高度對稱性的結構也可以視為正多面體的一種。[4]例如兩個正四面體組成的星形八面體,其類似於由兩個正三角形組成的大衛之星在三維空間中的類比。多個正多面體的複合結構也可以有其他種類,然而其未必會符合標記[註 1]可遞[註 2]的特性,因此不能算是正多面體,例如三複合正八面體。
正多面體最基本的特性就是每個面都是全等的正多邊形、每條邊等長且每角等角。
在定義中,每個頂點周圍有相似的面排佈的性質可以替換成下列的等價條件:
正多面體具有三個相關的球體(其他非正多面體至少缺少一種),其球心位於同一個點上:
20世紀出現了一系列關於正多面體概念的概括,導致了正多面體出現了幾個新的種類。
在20世紀最初的幾十年,考克斯特和皮特里考慮了頂點的排佈以及角呈現馬鞍形樣式的多面體類型,並找到了三種由正多邊形組成且無限延伸的折疊形幾何結構,被命名為正扭歪無限面體。[6]
如同扭歪多邊形的定義(不共面的多邊形),有限面數的扭歪多面體則為其無法所有面或頂點皆位於同一個三維空間的多面體,因此會需要四維或以上的空間來構造限面數的扭歪多面體,就如同皮特里多邊形為正多面體上的一個不共面封閉路徑,有限面數的扭歪多面體可以從四維正多胞體中取一個不共三維空間的封閉區域來構造。[7]
在非歐幾里德空間(雙曲空間、橢圓空間等)以及諸如複數空間或四元數空間等其他空間被發現之後,對於這些空間幾何學的研究導致了更多新種類的正多面體被發現,如複正多面體[8]等,但這些正多面體只能在特定空間中維持其正的特性。
在幾何中,複數空間的多面體是實數空間中的多面體在複數空間的推廣。[8]
在幾何中,四元數空間的多面體是實數空間中的多面體在四元數空間的推廣。其與複數空間類似,點不具有序性,因此沒有「位於...之間」的相互關係,因此一個四元數空間多面體可以被理解為一組點、線和面等的排佈關係,其中,點為多條線的連接點、線連接了多個面。由於四元數的乘法不具有交換率,因此必須透過純量與向量相乘來構建乘法系統,通常會使用左乘法。[10]
四元數空間的正多面體與實數空間的正多面體和複數空間的正多面體一樣,其對稱性皆可以被描述為反射群。例如,一個正的四元數空間直線可以與U1(H)的有限子群一一對應:二元循環群(英语:binary cyclic group)、二元二面體群(參閱一般四元数群(日语:一般四元数群)章節二元二面體群(英语:Dicyclic_group#Binary_dihedral_group)) 二元四面體群(英语:binary tetrahedral group)、二元八面體群(英语:binary octahedral group)和二元二十面體群(英语:binary icosahedral group)。[11]
在H3的雙曲仿緊空間中的正堆砌體或蜂巢結構體通常具有正鑲嵌圖的胞或頂點圖。在這樣的結構中,這些鑲嵌圖可以視為存在角虧並在封閉於一個無窮遠點。若當雙曲正堆砌體或蜂巢結構體位於非緊空間時則其會封閉於2個或以上個無窮遠點甚至是發散。
另一組正多面體為实射影平面的鑲嵌結構,其包括了立方體半形、八面體半形、十二面體半形和二十面體半形。[12]其皆為(全域)投影多面體,並且對應到四個柏拉圖立體的投影結構。由於正四面體不像其他四個柏拉圖立體一樣擁有相對面,因此正四面體無法形成多面體半形。
到目前為止,多面體皆被認為是任意維度之多胞形在三維空間的例子。在20世紀下半葉出現了抽象代數概念的發展,如多面體組合學(英语:Polyhedral_combinatorics),最終形成抽像多胞形(英语:Abstract_polytope)作為元素偏序关系的概念。抽像多面體的元素包括了它的主體(最大元素)、面、邊、頂點和空多胞形。這些抽像元素可以映射到普通空間或具體化成一個幾何形狀。一些抽象多面體具有良好具像化實例,但不一定所有的抽象多面體都能找到對應的具像化實例。抽象多面體與一般的多面體同樣可以定義標記[註 1]。若一抽象多面體的組合對稱性可以在其標記上傳遞[註 2],則這個抽象多面體為抽象正多面體,換句話說,即任何標記都可以在多面體的對稱性下映射到任何其他標記上。
在考克斯特於1977年出版的著作《正多胞形(英语:Regular_Polytopes_(book))》中列出了五種不存在良好具像化實例的抽象正多面體。後來在1987年耶爾格·邁克爾·威利(德语:Jörg Michael Wills)的論文又再次的確定了共存在五種有這種性質的抽象正多面體。[13]這五種抽象多面體都具有C2×S5對稱性,但只能具像化出一半的對稱性,即C2×A5或二十面體群對稱性。[14][15][16]
柏拉圖立體的皮特里對偶是一種正則地區圖,其頂點和邊對應於原始多面體的頂點和邊,其面是扭歪皮特里多邊形的集合。[17]
五個凸正多面體和四個星形多面體皆可以表示成球面多面體,或球面鑲嵌:
部分多面體雖然不是正多面體,但與正多面體有一定的關連。
正多邊形多面體或稱正多邊形面多面體(Regular-faced Polyhedron)是指所有面都是正多邊形的多面體。[18]在三維空間中,所有面都是正多邊形不一定能滿足正多面體的定義,例如92種詹森多面體雖然所有面都是正多邊形但都不是正多面體。正多邊形多面體可以分為以下幾類:[19]
有n個面的凸正多邊形多面體的個數為(從n=1開始):
有n個頂點的凸正多邊形多面體的個數為(從n=1開始):
稀有多面體是指同時具備面可遞和點可遞的立體,也就是說這類立體既是等面的也是等角的,由於三維空間的複雜性,要滿足此特性並不容易,因此稱稀有多面體。稀有多面體不一定是正多面體,因為稀有多面體不一定滿足等邊(邊可遞)的特性,但所有正多面體都是稀有多面體。
Argentine footballer (1938–2022) Juan Carlos Lallana Personal informationFull name Juan Carlos Lallana Morales[1]Date of birth (1938-12-24)24 December 1938Place of birth Rosario, ArgentinaDate of death 15 February 2022(2022-02-15) (aged 83)Place of death Rosario, ArgentinaPosition(s) ForwardSenior career*Years Team Apps (Gls)1956 Unión de Santa Fe 1957–1959 San Lorenzo 1960 Newell's Old Boys 1961 Lanús 1962–1963 Argentinos Juniors 1964–1967 River Plate 1968–1970 Deportiv…
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Albertiner (Begriffsklärung) aufgeführt. Die Albertiner sind eine Linie des deutschen Fürstengeschlechts der Wettiner. Der Name leitet sich ab vom Stammvater der Linie, Herzog Albrecht dem Beherzten. Die Albertiner regierten von 1485 bis 1918 als Herzöge, Kurfürsten und Könige in Sachsen. Inhaltsverzeichnis 1 Entstehung der albertinischen Linie der Wettiner 2 Erwerb der Kurwürde 3 Die Albertiner als polnische Könige…
La Laguna La Llaguna lugar País EspañaPoblación 39 hab.[editar datos en Wikidata] La Laguna (La Llaguna en asturiano y oficialmente[1]) es una entidad singular de población, con la categoría histórica de lugar,[2] perteneciente al concejo de Castrillón, en el Principado de Asturias (España). Alberga una población de 39 habitantes (INE 2009),[3] y, no se enmarca dentro de ninguna de las parroquias de Castrillón, a diferencia de lo que ocurre en el re…
ناهض المستقبلة الأدرينية-بيتا مديد المفعول السالميتيرول: مثال على ناهض المستقبلة الأدرينية-بيتا مديد المفعول اعتبارات علاجية معرّفات بيانات كيميائية تعديل مصدري - تعديل ناهض المستقبلة الأدرينية-بيتا مديد المفعول (بالإنجليزية: Long-acting beta-adrenoceptor agonist) ويُعرف اختصارًا…
American baseball player Baseball player Nick BlackburnBlackburn with the Minnesota Twins in 2008PitcherBorn: (1982-02-24) February 24, 1982 (age 41)Ada, Oklahoma, U.S.Batted: RightThrew: RightMLB debutSeptember 4, 2007, for the Minnesota TwinsLast MLB appearanceAugust 17, 2012, for the Minnesota TwinsMLB statisticsWin–loss record43–55Earned run average4.85Strikeouts388 Teams Minnesota Twins (2007–2012) Robert Nicholas Blackburn (born February 24, 1982) i…
Anglo-Irish soldier George Augustus Hamilton Chichester, 5th Marquess of Donegall (27 June 1822 – 13 May 1904), was an Anglo-Irish soldier and company promoter who became an Irish and British peer, with a seat in the House of Lords. Coat of Arms of the Marquess of Donegall In his youth he was an officer of the 6th Regiment of Foot by purchase and a director of railway companies. He was made bankrupt in 1866 and died in reduced circumstances, after inheriting his peerages in 1889. After being w…
2004 single by the UsedAll That I've GotSingle by the Usedfrom the album In Love and Death ReleasedDecember 7, 2004 (2004-12-07)StudioFoxy (Los Angeles)GenreEmo[1][2][3][4]Length3:59LabelRepriseSongwriter(s) Bert McCracken Quinn Allman Jeph Howard Branden Steineckert Producer(s)John FeldmannThe Used singles chronology Take It Away (2004) All That I've Got (2004) I Caught Fire (2005) All That I've Got is a song by American rock band the Used, release…
2012–13 NCAA football bowl gamesBowl sites by stateSeason2012Regular seasonAugust 30, 2012 – December 8, 2012Number of bowls35All-star games4Bowl gamesDecember 15, 2012 – February 5, 2013National Championship2013 BCS National ChampionshipLocation of ChampionshipSun Life StadiumMiami Gardens, FLChampionsAlabama Crimson TideBowl Challenge Cup winnerConference USABowl record by conferenceConference Bowls Record Final AP PollBig 12 9 4–5 (0.444) 3SEC 9 6–3 (0.667) 7Pac-12 8 4–4 (0.500) 3…
French historian Louis de Mas LatrieBornJacques Marie Joseph Louis de Mas LatrieCastelnaudaryDied3 January 1897(1897-01-03) (aged 81)ParisOccupationHistorianSpousePauline Rendu Louis de Mas Latrie (9 April 1815 – 3 January 1897) was a 19th-century French historian. Biography After his studies at the École nationale des chartes, Louis de Mas Latrie became an historian and specialized on Cyprus during the Middle Ages. He made several voyages there and is now considered by his peers as the …
Jaromír Blažek Datos personalesNacimiento Brno, República Checa29 de diciembre de 1972Nacionalidad(es) ChecaAltura 1.88 metrosCarrera deportivaDeporte FútbolClub profesionalDebut deportivo 1990(Slavia Praga)Posición GuardametaRetirada deportiva 2015(FC Vysočina Jihlava)Selección nacionalSelección CZE República ChecaPart. 14[editar datos en Wikidata] Jaromír Blažek (Brno, República Checa, 29 de diciembre de 1972) es un exfutbolista checo. Jugaba de portero y su primer e…
ApiceKomuneComune di ApiceLokasi Apice di Provinsi BeneventoNegara ItaliaWilayah CampaniaProvinsiBenevento (BN)Luas[1] • Total49,04 km2 (18,93 sq mi)Ketinggian[2]225 m (738 ft)Populasi (2016)[3] • Total6.245 • Kepadatan130/km2 (330/sq mi)Zona waktuUTC+1 (CET) • Musim panas (DST)UTC+2 (CEST)Kode pos82021Kode area telepon0824Situs webhttp://www.comune.apice.bn.it Apice adalah sebuah kota…
1924 film The Fake EmirHungarian posterDirected byHarry PielWritten byMax BauerEdmund HeubergerHarry PielProduced byHarry PielStarringHarry PielHermann LefflerClaire RommerCinematographyGeorg MuschnerGotthardt WolfProductioncompanyHape-FilmRelease date4 January 1924CountryGermanyLanguagesSilentGerman intertitles The Fake Emir (German: Der falsche Emir) is a 1924 German silent adventure film directed by and starring Harry Piel. It also features Hermann Leffler and Claire Rommer.[1] It was…
Two central California cattle ranches Hearst Ranch, looking down the access road from Hearst Castle to Highway 1 and San Simeon. Wooded peninsula is San Simeon Point. Young zebras at Hearst Ranch. Remnants of Mr. Hearst's private zoo, they are allowed to mix freely with Ranch cattle. The Hearst Ranch is composed of two cattle ranches in central California. The best known is the original Hearst Ranch, which surrounds Hearst Castle and comprises about 80,000 acres (320 km2). George Hearst (18…
Operation DoppelkopfPart of Eastern Front of World War IIEastern Front, June–August 1944. The attack at the connection between Army Groups Centre (Third Panzer Army) and North (Sixteenth Army) west of Riga is marked.Date16 August 1944 – 27 August 1944LocationWestern Latvia55°50′N 23°10′E / 55.833°N 23.167°E / 55.833; 23.167Result InconclusiveBelligerents Germany Soviet UnionCommanders and leaders Georg-Hans Reinhardt(Army Group Centre) Erhard Raus(…
1468–1598 Bashkir Khanate in southwestern Siberia You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Russian. (May 2021) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Consid…
Afghan military officer GeneralMurad Ali Muradمرادعلی مرادMurad Ali Murad in 24 June 2010Deputy Interior Minister for SecurityIn office18 May 2017 – 22 May 2018PresidentAshraf GhaniGovernor of DaykundiIn office13 July 2021 – 15 August 2021Preceded byMuhammad Zia HamdardSucceeded byAminullah Zubair Personal detailsBornLa‘l wa Sar Jangal, Ghor Province, AfghanistanMilitary serviceAllegiance Islamic Republic of AfghanistanBranch/service Afghan National ArmyRa…
The Variation of Animals and Plants under Domestication Halaman judul dari edisi pertama The Variation of Animals and Plants under DomesticationPengarangCharles DarwinNegaraBritania RayaBahasaInggrisSubjekSeleksi buatanPenerbitJohn MurrayTanggal terbit30 Januari 1868Jenis mediaCetak (sampul keras)HalamanVol 1: viii,411 +43 figsVol 2: viii,486.OCLC156100686 The Variation of Animals and Plants under Domestication adalah sebuah buku karya Charles Darwin yang pertama kali terbit pada Janua…
Canadian basketball player Jordy TshimangaTshimanga before a January 2020 game.No. 21 – TrepçaPositionCenterLeagueKosovo Basketball SuperleaguePersonal informationBorn (1996-11-04) November 4, 1996 (age 27)Montreal, QuebecNationalityCanadianListed height6 ft 11 in (2.11 m)Listed weight270 lb (122 kg)Career informationHigh schoolMacDuffie School(Granby, Massachusetts)College Nebraska (2016–2018) Dayton (2019–2021) NBA draft2021: undraftedPlaying career…
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Osaka Wrestling Restaurant – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2012) (Learn how and when to remove this template message) 2004 Hong Kong filmOsaka Wrestling RestaurantFilm posterDirected byTommy LawWritten byKo Cheng-tengTakashi HasegawaProduced…
2012 Indian filmMithunamDirected byTanikella BharaniWritten bySri RamanaScreenplay by Tanikella Bharani Jonna Vithula Anand Muvida Rao Produced byAnand Muyida RaoStarring S. P. Balasubrahmanyam Lakshmi CinematographyRajendra Prasad TanikellaEdited byS. B. UddhavMusic bySwaraveenapaniDistributed by AMR Productions J & J films Release date 21 December 2012 (2012-12-21) CountryIndiaLanguageTeluguBudget1.25 cr Mithunam (transl. Couple) is a 2012 Indian Telugu-language drama …
Lokasi Pengunjung: 54.224.90.25