對數凸函數 [ 註解 1] 超凸函數 [ 1] 函數 f ，其
log
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle {\log }\circ f}
f 取對數 後的數值）仍為凸函數 ，其原函數即為對數凸函數。
令X 实数 向量空间 內的凸集 ，令f : X → R f
對數凸函數 若
log
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle {\log }\circ f}
嚴格對數凸函數 若
log
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle {\log }\circ f}
此處視
log
-->
0
{\displaystyle \log 0}
− − -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle -\infty }
明顯可看出，f x 1 , x 2 ∈ X t ∈ [0, 1]
log
-->
f
(
t
x
1
+
(
1
− − -->
t
)
x
2
)
≤ ≤ -->
t
log
-->
f
(
x
1
)
+
(
1
− − -->
t
)
log
-->
f
(
x
2
)
,
f
(
t
x
1
+
(
1
− − -->
t
)
x
2
)
≤ ≤ -->
f
(
x
1
)
t
f
(
x
2
)
1
− − -->
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}
而f t ∈ (0, 1)
以上定義允許f f X f X
若f I ⊆ R f I x y
log
-->
f
(
x
)
≥ ≥ -->
log
-->
f
(
y
)
+
f
′
(
y
)
f
(
y
)
(
x
− − -->
y
)
.
{\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}
這和以下條件等效，只要x y I x > y
(
f
(
x
)
f
(
y
)
)
1
x
− − -->
y
≥ ≥ -->
exp
-->
(
f
′
(
y
)
f
(
y
)
)
.
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}
而且f
若f I x
f
″
(
x
)
f
(
x
)
≥ ≥ -->
f
′
(
x
)
2
.
{\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}
若上述的不等式是嚴格不等式，則f f x
f
″
(
x
)
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
2
{\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}
f
(
x
)
=
exp
-->
(
x
4
)
{\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}
f
f
″
(
0
)
f
(
0
)
=
0
=
f
′
(
0
)
2
{\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}
f
: : -->
I
→ → -->
(
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}
e
α α -->
x
f
(
x
)
{\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}
α α -->
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
[ 2] [ 3]
若
f
1
,
… … -->
,
f
n
{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}
w
1
,
… … -->
,
w
n
{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
f
1
w
1
⋯ ⋯ -->
f
n
w
n
{\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}
若
{
f
i
}
i
∈ ∈ -->
I
{\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}
g
=
sup
i
∈ ∈ -->
I
f
i
{\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}
若
f
: : -->
X
→ → -->
I
⊆ ⊆ -->
R
{\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }
g
: : -->
I
→ → -->
R
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。
對數凸函數f 本身是凸函數 ，因為這是遞增 凸函數
exp
{\displaystyle \exp }
log
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle \log \circ f}
复合函数 。但凸函數和對數的复合函数不一定都是凸函數。像
g
:
x
↦ ↦ -->
x
2
{\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}
log
∘ ∘ -->
g
:
x
↦ ↦ -->
log
-->
x
2
=
2
log
-->
|
x
|
{\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}
g
{\displaystyle g}
x
↦ ↦ -->
e
x
2
{\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}
x
↦ ↦ -->
log
-->
e
x
2
=
x
2
{\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}
f
(
x
)
=
exp
-->
(
|
x
|
p
)
{\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}
p
≥ ≥ -->
1
{\displaystyle p\geq 1}
p
>
1
{\displaystyle p>1}
f
(
x
)
=
1
x
p
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}
p
>
0.
{\displaystyle p>0.}
(
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle (0,\infty )}
正數 上的Γ函数 是對數凸函數。（參見波爾-莫勒魯普定理
^ 此條目中「凸函數」的定義是指其下方圖是凸集，和凸函數 條目中的定義不同。
John B. Conway. Functions of One Complex Variable I , second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3 .
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization . Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783 .
Montel, Paul, Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1928, 7 : 29–60 （French）
