卡方分布

概率密度函數
累積分布函數
参数	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{\star }~~}$ 自由度
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$，
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}$
期望值	${\displaystyle k}$
中位數	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
眾數	max{ k − 2, 0 }
方差	${\displaystyle 2k}$
偏度	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
峰度	${\displaystyle 12/k}$
熵	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}$
矩生成函数	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$，${\displaystyle 2\,t<1}$
特徵函数	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$[1]

卡方分布（英語：chi-square distribution^[2], χ²-distribution，或寫作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一，例如假說檢定和置信区间的计算。

由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于：

1. 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
2. 同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
3. 二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定）

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1}}$、……、${\displaystyle Z_{k}}$是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}$

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

${\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}$

${\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}}$

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

卡方分布的概率密度函数为：

${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}}$

其中${\displaystyle x\geq 0}$，当${\displaystyle x\leq 0}$时${\displaystyle f_{k}(x)=0}$。这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}}$，

其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)}$

其中${\displaystyle \psi (x)}$是雙伽瑪函數。

當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。 即：

${\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U}$

卡方變數之期望值＝自由度 卡方變數之方差＝两倍自由度

由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$分别独立服从自由度为${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots k_{n}}$的卡方分布，那么它们的和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}}$服从自由度为${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}}$的卡方分布。

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1}}$、……、${\displaystyle Z_{k}}$是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$

其中均值

${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}$

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

${\displaystyle n{\bar {Z}}^{2}\sim \chi _{1}^{2}}$

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

• 卡方分配與卡方檢定 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 分布计算器（页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）