Định lý Ptoleme thể hiện mối quan hệ của độ dài các cạnh - đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn.
A
C
⋅ ⋅ -->
B
D
=
A
B
⋅ ⋅ -->
C
D
+
B
C
⋅ ⋅ -->
A
D
{\displaystyle \definecolor {V}{rgb}{0.5803921568627451,0,0.8274509803921568}\definecolor {B}{rgb}{0,0,1}\definecolor {R}{rgb}{0.8,0,0}{\color {V}AC}\cdot {\color {V}BD}={\color {B}AB}\cdot {\color {B}CD}+{\color {R}BC}\cdot {\color {R}AD}}
Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp . Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).
Nếu A , B , C , và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:
|
A
C
¯ ¯ -->
|
⋅ ⋅ -->
|
B
D
¯ ¯ -->
|
=
|
A
B
¯ ¯ -->
|
⋅ ⋅ -->
|
C
D
¯ ¯ -->
|
+
|
B
C
¯ ¯ -->
|
⋅ ⋅ -->
|
A
D
¯ ¯ -->
|
{\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|}
với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.
Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:
Thuận :Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện. Đảo :Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
Gọi
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
tứ giác nội tiếp đường tròn .
Trên cung nhỏ
B
C
{\displaystyle BC}
góc nội tiếp
∠ ∠ -->
B
A
C
{\displaystyle \angle BAC}
=
{\displaystyle =}
∠ ∠ -->
B
D
C
{\displaystyle \angle BDC}
A
B
{\displaystyle AB}
∠ ∠ -->
A
D
B
=
∠ ∠ -->
A
C
B
.
{\displaystyle \angle ADB=\angle ACB.}
Lấy 1 điểm
K
{\displaystyle K}
A
C
{\displaystyle AC}
∠ ∠ -->
ABK
{\displaystyle {\ce {\angle ABK}}}
=
{\displaystyle {\ce {=}}}
∠ ∠ -->
C
B
D
{\displaystyle \angle CBD}
Từ
∠ ∠ -->
ABK
{\displaystyle {\ce {\angle ABK}}}
+
{\displaystyle +}
∠ ∠ -->
C
B
K
{\displaystyle \angle CBK}
=
{\displaystyle {\ce {=}}}
∠ ∠ -->
ABC
{\displaystyle {\ce {\angle ABC}}}
=
{\displaystyle {\ce {=}}}
∠ ∠ -->
C
B
D
{\displaystyle \angle CBD}
+
{\displaystyle +}
∠ ∠ -->
A
B
D
{\displaystyle \angle ABD}
∠ ∠ -->
C
B
K
{\displaystyle \angle CBK}
=
{\displaystyle {\ce {=}}}
∠ ∠ -->
A
B
D
{\displaystyle \angle ABD}
Do vậy tam giác
△ △ -->
A
B
K
{\displaystyle \bigtriangleup ABK}
đồng dạng với tam giác
△ △ -->
D
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup DBC}
△ △ -->
A
B
D
{\displaystyle \bigtriangleup ABD}
đồng dạng với
△ △ -->
K
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup KBC}
Suy ra:
A
B
A
K
=
D
B
D
C
{\displaystyle {\frac {AB}{AK}}={\frac {DB}{DC}}}
C
K
B
C
=
D
A
D
B
{\displaystyle {\frac {CK}{BC}}={\frac {DA}{DB}}}
Từ đó
A
K
⋅ ⋅ -->
B
D
=
A
B
⋅ ⋅ -->
C
D
{\displaystyle AK\cdot BD=AB\cdot CD}
C
K
⋅ ⋅ -->
B
D
=
D
A
⋅ ⋅ -->
B
C
{\displaystyle CK\cdot BD=DA\cdot BC}
Cộng các vế của 2 đẳng thức trên:
A
K
⋅ ⋅ -->
B
D
+
C
K
⋅ ⋅ -->
B
D
=
A
B
⋅ ⋅ -->
C
D
+
A
D
⋅ ⋅ -->
B
C
{\displaystyle AK\cdot BD+CK\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}
Hay:
(
A
K
+
C
K
)
⋅ ⋅ -->
B
D
=
A
B
⋅ ⋅ -->
C
D
+
A
D
⋅ ⋅ -->
B
C
{\displaystyle (AK+CK)\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}
Mà
A
K
+
C
K
=
A
C
{\displaystyle AK+CK=AC}
A
C
⋅ ⋅ -->
B
D
=
A
B
⋅ ⋅ -->
C
D
+
A
D
⋅ ⋅ -->
B
C
{\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}
Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu AB CD là tứ giác bất kỳ thì
A
B
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
C
D
¯ ¯ -->
+
B
C
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
D
A
¯ ¯ -->
≥ ≥ -->
A
C
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
B
D
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptoleme.
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác .
Dựng điểm
E
{\displaystyle E}
△ △ -->
B
C
D
{\displaystyle \triangle BCD}
△ △ -->
B
E
A
{\displaystyle \triangle BEA}
tam giác đồng dạng, ta có
B
A
E
A
=
B
D
C
D
{\displaystyle {\frac {BA}{EA}}={\frac {BD}{CD}}}
Suy ra
B
A
.
C
D
=
E
A
.
B
D
(
1
)
{\displaystyle BA.CD=EA.BD(1)}
Mặt khác,
△ △ -->
E
B
C
{\displaystyle \triangle EBC}
△ △ -->
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
B
A
B
D
=
B
E
B
C
{\displaystyle {\frac {BA}{BD}}={\frac {BE}{BC}}}
E
B
C
^ ^ -->
=
A
B
D
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {EBC}}={\widehat {ABD}}}
Từ đó
E
C
B
C
=
A
D
B
D
{\displaystyle {\frac {EC}{BC}}={\frac {AD}{BD}}}
Suy ra
A
D
.
B
C
=
E
C
.
B
D
(
2
)
{\displaystyle AD.BC=EC.BD(2)}
Cộng (1) và (2) ta suy ra
A
B
⋅ ⋅ -->
C
D
+
A
D
⋅ ⋅ -->
B
C
=
B
D
⋅ ⋅ -->
(
E
A
+
E
C
)
{\displaystyle AB\cdot CD+AD\cdot BC=BD\cdot (EA+EC)}
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra
A
B
⋅ ⋅ -->
C
D
+
B
C
⋅ ⋅ -->
D
A
≥ ≥ -->
A
C
⋅ ⋅ -->
B
D
{\displaystyle {AB}\cdot {CD}+{BC}\cdot {DA}\geq {AC}\cdot {BD}}
I.F.Sharyghin, Các bài toán hình học phẳng, Nhà xuất bản "Nauka", Moscow 1986 (tiếng Nga )
Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L.: "Ptolemy's Theorem and its Extensions." §2.6 in Geometry Revisited . Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 42–43, 1967.
De Revolutionibus Orbium Coelestium , Copernicus , Nicolaus. English translation from On the Shoulders of Giants, Hawking, S 2002, Penguin Books. ISBN 0-14-101571-3
