Bài viết này là một bài mồ côi vì không có bài viết khác liên kết đến nó. Vui lòng tạo liên kết đến bài này từ các bài viết liên quan; có thể thử dùng công cụ tìm liên kết. (tháng 8 năm 2020)

Trong hình học vi phân, đẳng cấu thăng giáng là một đẳng cấu giữa phân thớ tiếp xúc ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ và phân thớ đối tiếp xúc ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ của một đa tạp Riemann, cảm sinh bởi tenxơ metric.

Xét một đa tạp Riemann (M, g).

Cho trước một trường vectơ ${\displaystyle X\in TM}$, ta xác định giáng của nó, là một nhát cắt ${\displaystyle X^{\flat }}$ của phần thớ đối tiếp xúc ${\displaystyle T^{*}M}$(hay một trường đối véc-tơ), bởi

${\displaystyle X_{p}^{\flat }(Y_{p})=\langle X_{p},Y_{p}\rangle }$

với mọi ${\displaystyle p\in M}$ và mọi trường véc-tơ Y. Đẳng cấu này gán cho phân thớ ${\displaystyle T^{*}M}$ một tích vô hướng.^[1]

Tương tự, với một trường đối véc-tơ ω, ta định nghĩa thăng của nó, ${\displaystyle \omega ^{\sharp }}$, là trường véc-tơ duy nhất thỏa mãn

${\displaystyle {\bigl \langle }\omega _{p}^{\sharp },Y_{p}{\bigr \rangle }=\omega _{p}(Y_{p}),}$

với mọi ${\displaystyle p\in M}$ và mọi trường véc-tơ Y.

Ta có hai đẳng cấu là nghịch đảo của nhau

${\displaystyle \flat :{\rm {T}}M\to {\rm {T}}^{*}M,\qquad \sharp :{\rm {T}}^{*}M\to {\rm {T}}M.}$

Sử dụng các ký hiệu nâng hạ chỉ số Einstein, với một trường mục tiêu địa phương ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ (và trường đối mục tiêu tương ứng ${\displaystyle e^{1},\dots ,e^{n}}$ thỏa mãn ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}$), ta có:

${\displaystyle X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\,\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\,\mathbf {e} ^{j}.}$

${\displaystyle \omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j},}$

• Berger, Marcel (2003). A Panoramic View of Riemannian Geometry, tr. 696
• Lee, J. M. (2003). Introduction to Smooth manifolds. Springer Graduate Texts in Mathematics. 218. ISBN 0-387-95448-1.
• Lee, J. M. (1997). Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature. Springer Graduate Texts in Mathematics. 176. New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878-292-6.
• Warner, Frank, (1971). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups