Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải Trong toán học , phép tích vectơ hay nhân vectơ hay tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ trong không gian vectơ ba chiều. Nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ (phép toán kia là nhân vô hướng ). Nó khác nhân vô hướng ở chỗ là kết quả thu được là một giả vectơ thay cho một vô hướng . Kết quả này vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ đầu vào của phép nhân.
Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải . Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay
[
a
→ → -->
,
b
→ → -->
]
{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]}
a
× × -->
b
=
n
^ ^ -->
|
a
|
|
b
|
sin
-->
θ θ -->
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }
với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b , và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b .
Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.
Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải . (a , b , a × b ) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.
Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ . May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.
Phép tính này phản giao hoán :
a × b = -(b × a) Nó phân phối được trên phép cộng vectơ:
a × (b + c ) = a × b + a × c Nó kết hợp được với nhân vô hướng :
(r. a ) × b = a × (r. b ) = r .(a × b ). với "." chỉ nhân vô hướng.
Nó không có tính kết hợp ,
(a × b ) × c
≠ ≠ -->
{\displaystyle \neq }
a × (b × c ) (Ví dụ: khi a song song với b vế trái bằng 0 trong khi về phải (nói chung) khác không.)
Nó thỏa mãn đẳng thức Jacobi
a × (b × c ) + b × (c × a ) + c × (a × b ) = 0 .2 vectơ không cùng phương thì tích có hướng là một vectơ vuông góc với 2 vectơ đã cho.
Các tính chất trên cho thấy không gian vectơ ba chiều với phép nhân vec tơ tạo thành một đại số Lie .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
n
1
→ → -->
=
(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}
n
2
→ → -->
=
(
A
2
,
B
2
,
C
2
)
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}
[
n
1
→ → -->
,
n
2
→ → -->
]
=
(
|
B
1
C
1
B
2
C
2
|
,
|
C
1
A
1
C
2
A
2
|
,
|
A
1
B
1
A
2
B
2
|
)
{\displaystyle [{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})}
Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.
Diện tích hình bình hành ABCD:
S
=
|
[
A
B
→ → -->
;
A
D
→ → -->
]
|
=
A
B
.
A
D
.
s
i
n
(
A
)
{\displaystyle S=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\right\vert =AB.AD.sin(A)}
Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D':
V
=
|
[
A
B
→ → -->
;
A
D
→ → -->
]
⋅ ⋅ -->
A
A
′
→ → -->
|
{\displaystyle V=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\cdot {\vec {AA'}}\right\vert }
2 vector
u
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→ → -->
{\displaystyle {\vec {v}}}
⇔ ⇔ -->
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→ → -->
;
v
→ → -->
]
=
0
→ → -->
{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}]={\vec {0}}}
3 vector
u
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→ → -->
{\displaystyle {\vec {v}}}
w
→ → -->
{\displaystyle {\vec {w}}}
⇔ ⇔ -->
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→ → -->
;
v
→ → -->
]
.
w
→ → -->
=
0
{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0}
Phép tính này xuất hiện ở công thức tính lực Lorentz do một trường điện từ tác động lên một điện tích . Công thức tính mômen lực hay mômen động lượng cũng liên quan đến nhân vectơ.
![{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008d8868e90625dc41200b2396382596923b8d9c)
![{\displaystyle [{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cf919fe1c939d7c84b9d19d5bc78bd08474340)
![{\displaystyle S=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\right\vert =AB.AD.sin(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760fdf915998c29a66e0f1db274670f50bc32c72)
![{\displaystyle V=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\cdot {\vec {AA'}}\right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ee277ddb227df9df6bc11dc54f1b1d3c9c7efe)
![{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}]={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902f2c5070ec2906fba5cdfebc75db816024ab33)
![{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ff4069898c2e3c87418e03aeb2464f9f0777a4)
