Chứng minh e là số vô tỉ


Một phần của loạt bài về
hằng số toán học e
Tính chất
Ứng dụng
Định nghĩa e
Con người
Chủ đề liên quan

Số e được Jacob Bernoulli giới thiệu vào năm 1683. Hơn nửa thế kỷ sau, Euler, người từng là học trò của em trai Jacob, Johann, đã chứng minh rằng e là số vô tỉ; nghĩa là nó không thể được biểu thị bằng thương số của hai số nguyên.

Trong toán học, dạng khai triển số e của Euler

được dùng để chứng minh rằng e là số vô tỉ. Dưới đây là phép chứng minh bằng phản chứng của Joseph Fourier.

Chứng minh

Giả sử rằng e là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại các số tự nhiên a và b sao cho e = a/b.

Đặt

Thay e = a/b vào biểu thức bên trên ta được

Số hạng đầu tiên là số nguyên, các số hạng tiếp theo nguyên bởi vì n ≤ b, vậy nên x là số nguyên.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng 0 < x < 1. Thật vậy, thay e bằng dạng khai triển Euler ta được:

Với mọi n ≥ b + 1 ta có ước lượng bên dưới

và bất đẳng thức trở nên nghiệm ngặt với n ≥ b + 2. Thay từng đánh giá vào tổng và sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân vô hạn ta được

Vậy 0 < x < 1, mà không có số nguyên nào giữa 0 và 1, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, vậy e phải là số vô tỉ.

Tham khảo

Read other articles:

Daftar koloni dan wilayah kekuasaan Prancis

Ini adalah artikel sejarah. Untuk wilayah kekuasaan Prancis pada saat ini, lihat departemen dan teritorial seberang laut Prancis Peta seluruh koloni dan wilayah kekuasaan Prancis Pada abad ke-19 dan ke-20, kekaisaran kolonial Prancis adalah salah satu yang terbesar di dunia, disamping Kekaisaran Spanyol dan kemudian Kekaisaran Inggris; yang memiliki luas daratan lebih dari [convert: nomor tidak sah] saat masa puncaknya pada 1920-an dan 1930-an. Kekaisaran kolonial Prancis menjadi kekaisaran t...

 

Di'anmen

Gerbang Di'an. Di'anmen (Hanzi: 地安门; harfiah: 'Gerbang Kedamaian Duniawi') adalah gerbang kekaisaran di Beijing, Republik Rakyat Tiongkok. Pertama kali dibangun pada zaman Kaisar Yongle dari Dinasti Ming, kemudian diperbaiki oleh Kaisar Shunzhi dari Dinasti Qing dan namanya sempat diubah menjadi Bei'anmen (Hanzi: 北安门; harfiah: 'Gerbang Kedamaian Utara').[1][2] Gerbang ini dulunya berfungsi sebagai gerbang utara utama Kota Kekaisaran (gerbang selatan...

 

Rumney Marsh Reservation

State park in Massachusetts, US Rumney Marsh ReservationThe Pines River and surrounding marshlandLocation in MassachusettsShow map of MassachusettsRumney Marsh Reservation (the United States)Show map of the United StatesLocationEssex, Suffolk, Massachusetts, United StatesCoordinates42°25′38″N 71°0′3″W / 42.42722°N 71.00083°W / 42.42722; -71.00083Area815 acres (330 ha)[1]Elevation3 ft (0.91 m)[2]EstablishedUnspecifiedOperatorMa...

Satelit alami

Untuk kegunaan lain, lihat Bulan (disambiguasi). Satelit alami adalah objek angkasa yang mengorbit sebuah planet, planet katai, atau benda lain yang lebih besar daripada dirinya (atau bahkan terkadang satelit alami lainnya).[1] Sebenarnya terminologi ini berlaku juga bagi planet yang mengelilingi sebuah bintang, atau bahkan sebuah bintang yang mengelilingi pusat galaksi, tetapi jarang digunakan. Satelit alami juga dapat disebut sebagai bulan, yang merupakan turunan dari istilah Bulan ...

 

Loathly lady

Archetypal woman who transforms from ugly to beautiful This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this article. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Loathly lady – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2011) (Learn how and when to remove this template message) Lady, I will be a true and loyal husband. Gawain and the loathl...

 

Iran at the FIFA World Cup

Participation of Iran's national football team in the FIFA World Cup Iran national football team at the 2018 FIFA World Cup in Russia Iran have appeared in the FIFA World Cup on six occasions: in 1978, 1998, 2006, 2014, 2018 and 2022. They are yet to have progressed from the group stages.[1][2] Record at the FIFA World Cup qualification As of 1 April 2024 Rank Team Part M W D L GF GA GD Points 1  Mexico 17 189 121 41 27 453 134 +319 404 2  Australia 16 165 99 40 26 4...

Beipu

Not to be confused with Beipu in Xincheng, Hualien. Place in Taiwan, Republic of ChinaBeipu Township北埔鄉 HoppoBeipu Township in Hsinchu CountyBeipu Township北埔鄉Coordinates: 24°39′50″N 121°4′5″E / 24.66389°N 121.06806°E / 24.66389; 121.06806CountryRepublic of ChinaProvinceTaiwanCountyHsinchuGovernment • TypeRural townshipArea • Total50.6676 km2 (19.5629 sq mi)Population (March 2023) • Total8,6...

 

Синелобый амазон

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

 

Toyota Motor Thailand

Toyota Motor Thailand Co., Ltd. (TMT)Nama asliบริษัท โตโยต้า มอเตอร์ ประเทศไทย จำกัดJenisAnak PerusahaanIndustriOtomotifGenreMotor carsDidirikan5 Oktober 1962; 61 tahun lalu (1962-10-05)KantorpusatPhra Pradaeng, Samut Prakan, ThailandTokohkunciNinnart Chaithirapinyo (Ketua)Noriaki Yamashita (Presiden)ProdukMobil, kendaraan niaga, mesinProduksi760.000 kendaraan (max.)PemilikToyota Motor Corporation (86.4%)Situs webwww.toy...

Шалфей обыкновенный

Шалфей обыкновенный Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:РастенияКлада:Цветковые растенияКлада:ЭвдикотыКлада:СуперастеридыКлада:АстеридыКлада:ЛамиидыПорядок:ЯсноткоцветныеСемейство:ЯснотковыеРод:ШалфейВид:Шалфей обыкновенный Международное научное наз...

 

Jai Ram Thakur

Indian politician (born 1965) Jai Ram ThakurLeader of the Opposition,Himachal Pradesh Legislative AssemblyIncumbentAssumed office 25 December 2022GovernorRajendra Arlekar Shiv Pratap ShuklaChief MinisterSukhvinder Singh SukhuPreceded byMukesh Agnihotri6th Chief Minister of Himachal PradeshIn office27 December 2017 – 11 December 2022Preceded byVirbhadra SinghSucceeded bySukhvinder Singh SukhuMember of the Himachal Pradesh Legislative AssemblyIncumbentAssumed office 25 D...

 

Salaire

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article adopte un point de vue régional ou culturel particulier et nécessite une internationalisation (juin 2015). Merci de l'améliorer ou d'en discuter sur sa page de discussion ! Vous pouvez préciser les sections à internationaliser en utilisant {{section à internationaliser}}. Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article concernant le droit doit ê...

Domenico Giacomarro

Questa voce sugli argomenti allenatori di calcio italiani e calciatori italiani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti dei progetti di riferimento 1, 2. Domenico Giacomarro Giacomarro al Licata negli anni 1980. Nazionalità  Italia Altezza 176 cm Peso 73 kg Calcio Ruolo Allenatore (ex centrocampista) Squadra  Team Altamura Termine carriera 1998 - giocatore CarrieraGiovanili 19??-1980 RomaSquadre di club1 19...

 

Чайки

У этого термина существуют и другие значения, см. Чайки (значения). Чайки Доминиканская чайкаЗападная чайкаКалифорнийская чайкаМорская чайка Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:Вторич...

 

Tokyo Prefecture (1868–1943)

Former Japanese government entity For the modern day prefecture, see Tokyo. This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Tokyo Prefecture 1868–1943 – news · newspa...

Narghota

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Narghota – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2021) Narghota is a small village under Kajlot panchayat[1] situated 3 kilometres (1.9 mi) southwest of Dharamshala in Himachal Pradesh, India. The village is home for handfu...

 

Bussière-Galant

Peta infrastruktur dan tata guna lahan di Komune Bussière-Galant.  = Kawasan perkotaan  = Lahan subur  = Padang rumput  = Lahan pertanaman campuran  = Hutan  = Vegetasi perdu  = Lahan basah  = Anak sungaiBussière-Galant merupakan sebuah komune di departemen Haute-Vienne di Prancis. Lihat pula Komune di departemen Haute-Vienne Referensi INSEE lbsKomune di departemen Haute-Vienne Aixe-sur-Vienne Ambazac Arnac-la-Poste Augne Aureil Azat-le-Ris Balledent ...

 

Akademi Nederduytsche

Akademi Nederduytsche atau Akademi Belanda Pertama adalah sebuah lembaga yang dibentuk oleh Samuel Coster (dengan dukungan penting dari Bredero dan Hooft) di Amsterdam. Lembaga ini dibentuk untuk menawarkan sajian teater yang lebih baik daripada teater lama rederijkerskamers. Selain itu lembaga ini bertujuan untuk memberikan pendidikan lebih tinggi kepada masyarakat umum. Akademi ini diresmikan pada 23 September 1617 dengan sajian drama berjudul 'Apollo' karangan Suffridus Sixtinus, dan drama...

كرة السلة في الألعاب الأولمبية الصيفية 2012

كرة السلة في الألعاب الأولمبية الصيفية 2012معلومات عامةجزء من الألعاب الأولمبية الصيفية 2012 الرياضة كرة السلة البلد المملكة المتحدة المكان Basketball Arena (en) الإحداثيات 51°32′55″N 0°00′50″W / 51.5486°N 0.0139°W / 51.5486; -0.0139 بتاريخ 2012 تاريخ البدء 28 يوليو 2012 تاريخ الانتهاء 12 أغسطس 2012...

 

中華民國國軍中的中共間諜列表

 本表是動態列表，或許永遠不會完結。歡迎您參考可靠來源來查漏補缺。 潛伏於中華民國國軍中的中共間諜列表收錄根據公開資料來源，曾潛伏於中華民國國軍、被中國共產黨聲稱或承認，或者遭中華民國政府調查審判，為中華人民共和國和中國人民解放軍進行間諜行為的人物。以下列表以現今可查知時間為準，正確的間諜活動或洩漏機密時間可能早於或晚於以下所歸�...