Riesz potentsiali matematikada uning kashfiyotchisi vengriyalik matematik Marsel Ries nomi bilan atalgan potentsialdir. Qaysidir maʼnoda Riesz potentsiali Evklid fazosida Laplas operatorining kuchiga teskari kuchni ifodalaydi. Ular bir oʻzgaruvchili Riemann-Liouville integrallarini bir nechta oʻzgaruvchilarga umumlashtiradi.

Agar 0 < a < n bo'lsa, u holda R ⁿ dagi lokal integrallanuvchi f funksiyaning Riesz potensiali I _a f uyidagi funksiyasi bilan aniqlanadi:Andoza:NumBlkkonstanta quyidagicha berilgan:

${\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}$

Bu singulyar integral yaxshi aniqlangan, agar f cheksizlikda yetarlicha tez kamaydi, ayniqsa f ∈ L <sup id="mwJw"><i id="mwKA">p</i></sup> (<b id="mwKQ">R</b> <sup id="mwKg"><i id="mwKw">n</i></sup>) 1 bilan ≤ p < n / a. Aslida, har qanday 1 ≤ p uchun (p >1 klassik, Sobolevga koʻra, p =1 boʻlganda), f va I _a f ning kamayish tezligi tengsizlik koʻrinishida bogʻlangan (Hardi-Littlevud-Sobolev tengsizligi)

${\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},}$

bu yerda ${\displaystyle Rf=DI_{1}f}$ vektor qiymatli Riesz konvertatsiyasi. Umuman olganda, I _a operatorlari kompleks a uchun aniq belgilangan, 0 < Re α < n.

Riesz potensialini zaif maʼnoda konvolyutsiya sifatida aniqlash mumkin

${\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}$

Bu yerda K _a - mahalliy integrallanadigan funksiya:

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.}$

Riesz potensialini f ixcham qoʻllab-quvvatlanadigan taqsimot boʻlganda aniqlash mumkin. Shu munosabat bilan, musbat Borel oʻlchovi μ ning Riesz potentsiali asosan potentsial nazariyaga qiziqish uygʻotadi, chunki I _a μ u holda μ tayanchidan (uzluksiz) subharmonik funksiya boʻlib, barcha R ⁿ da pastki yarim uzluksizdir.

Furye konvertatsiyasini koʻrib chiqish Riesz potentsialining Furye koʻpaytmasi ekanligini koʻrsatadi.^[1] Quyidagini bilamiz:

${\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}$

va konvolyutsiya teoremasiga koʻra

${\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}$

Riesz potentsiallari tez kamayib boruvchi uzluksiz funksiyalar uchun quyidagi yarimguruh xususiyatini qondiradi:

${\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}$

Berilgan:

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.}$

Bundan tashqari, agar 0 < Re α < n–2 boʻlsa, u holda:

${\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.}$

Bundan tashqari, ushbu sinf funksiyalari uchun:

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}$

• Bessel potensiali
• Fraksion integratsiya
• Sobolev fazosi

• Landkof, N. S. (1972), Foundations of modern potential theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0350027
• Riesz, Marcel (1949), „L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy“, Acta Mathematica, 81: 1–223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102.
•  
• Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean, An ${\displaystyle L^{1}}$-type estimate for Riesz potentials, arXiv:1411.2318, doi:10.4171/rmi/937
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8
• Samko, Stefan G. (1998), „A new approach to the inversion of the Riesz potential operator“ (PDF), Fractional Calculus and Applied Analysis, 1 (3): 225–245, 2016-02-22da asl nusxadan (PDF) arxivlandi, qaraldi: 2022-05-27