У фізиці, в хвильове рівняння акустики описує поширення акустичної хвилі через матеріальне середовище, яке є диференціальним рівнянням другого роду з частинними похідними. Рівняння описує еволюцію акустичного тиску або швидкості u як функції, яка залежить від координат х і часу . Спрощена форма рівняння описує акустичні хвилі тільки в одному просторовому вимірі, в той час як більш загальна форма описує хвилі в трьох вимірах.
Хвильове рівняння акустики був важливою точкою відліку у розвитку електромагнітного хвильового рівняння у Кельвінському майстер-класі в університеті Джонса Хопкінса.[1]
Одновимірний випадок
Рівняння
Річард Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в справу в речовині в одному вимірі як:
де — акустичний тиск і — швидкість звуку.[2]
Розв'язування
За умови, що швидкість є константою, яка не залежить від частоти (бездисперсійний випадок), то найбільш загальний розв'язок має вигляд
де і — будь-які двічі диференційовані функції. Це може бути зображено як суперпозицію двох хвиль довільного профілю, одна () пересуваються вгору по осі x, а інша () вниз по осі x зі швидкістю . У частинному випадку синусоїдальної хвилі, яка рухається в одному напрямку, одна з цих функцій є синусоїдою, а інша рівна нулю, що дає нам такий розв'язок:
- .
де — кутова частота хвилі, а — її хвильове число.
Отримання
Хвильове рівняння можуть бути отримано на основі лінеаризованого одновимірного рівняння неперервності, лінеаризованого одновимірного рівняння сил і рівняння стану.
Рівняння стану (рівняння стану ідеального газу)
В адіабатичному процесі, тиск Р як функція від густини може бути лінеаризована до
де C — деяка константа. Розбиваючи тиск і густину на їхні середні і загальні компоненти і вважаючи, що :, отримаємо:
- .
Адіабатичний об'ємний модуль для рідини визначається як
який дає результат
- .
Ущільнення, s, визначається як зміна густини для даної рідини.
Лінеаризоване рівняння стану набуває вигляду
- де p - це звуковий тиск ().
Рівняння неперервності (збереження маси) в одному вимірі має вигляд
- .
Тут u — це швидкість потоку рідини. Рівняння знову повинно бути лінеаризоване і змінні поділені на їх середнє та змінні складові.
Перегруповуючи і зазначивши, що зміна густини навколишнього середовища не залежить від часу і положення, що ущільнення, помножене на швидкість — дуже мале число, отримаємо:
Рівняння сили Ейлера (збереження імпульсу) є останнім з необхідних компонентів. В одновимірному випадку рівняння має вигляд:
- ,
де являє собою конвективною похідною, яка є похідною в точці, яка рухається зі середовищем.
Лінеаризація змінних:
- .
Перегруповуючи і нехтуючи малими членами, результуюче рівняння стане лінеаризованим одновимірним рівнянням Ейлера:
- .
Взявши похідну за часом в рівнянні неперервності і просторову похідну в рівнянні сили, отримаємо:
- .
Домноживши перше на , віднявши друге, і підставляючи в лінеаризоване рівняння стану, отримаємо
- .
Остаточний результат
- ,
де — швидкість поширення.
Трьохвимірний випадок
Рівняння
Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в речовині у трьох вимірах:
де — оператор Лапласа, — акустичний тиск і — швидкість звуку.
Подібний вигляд хвильового рівняння, але для векторного поля швидкості частинок:
- ..
У деяких ситуаціях, це рівняння є більш зручне для розв'язку хвильового рівняння для абстрактного скалярного поля потенціалу швидкості, яке має вигляд
з якого виводяться фізичні величини — швидкість частинок і акустичний тиск:
- ,
- .
Розв'язування
Розв'язки знаходяться шляхом розділення змінних в різних системах координат. Вони є розв'язками комплексної амплітуди, тобто вони мають неявну часову залежність від фактора , де — кутова частота. Явна залежність від часу має вигляд
Тут — хвильове число.
Декартові координати
- .
Циліндричні координати
- .
Сферичні координати
- .
Посилання
Джерела
1. Літинський Святослав Володимирович. Чисельне розв’язування мішаних задач для хвильового рівняння методом перетворення Лаґерра та граничних інтегральних рівнянь.