PROFILPELAJAR.COM

Теорема Ґріна — Тао — теоретико-числове твердження, яке 2004 року довели Бен Ґрін^[en] і Теренс Тао^[1], згідно з яким послідовність простих чисел містить арифметичні прогресії довільної довжини. Іншими словами, існують арифметичні прогресії простих чисел, що складаються з k членів, де k може бути будь-яким натуральним числом. Доведення полягає в розширенні теореми Семереді.

Формулювання

Хоча теорема відома лише доведенням самого факту наявності як завгодно довгих прогресій у множині простих чисел, проте є^[2] значні посилення цього твердження: по-перше, твердження залишається істинним для довільної множини простих чисел додатної щільності (відносно множини всіх простих чисел); по-друге, є окремі верхні оцінки того, наскільки великими можуть бути елементи найменшої прогресії у множині.

Далі у формулюваннях $\mathbb {P}$ означає множину простих чисел. Запис $\log _{[k]}x$ означає $\log \log \dots \log x$ , де логарифм береться $k$ разів.

Теорема Ґріна — Тао

Нехай $A$ — множина простих чисел, і її щільність відносно простих $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ строго додатна. Тоді для довільного $k\geqslant 2$ множина $A$ містить арифметичну прогресію довжини $k$ .

У своїй окремій ранішій праці^[3] Ґрін довів результат, що стосується функції розподілу множини $A$ , але тільки для окремого випадку тричленної прогресії.

Існує стала $c$ така, що якщо для множини простих чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ виконано $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N}}}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N}}}}$ , то вона містить тричленну арифметичну прогресію.

Оскільки необхідна функція асимптотично менша від кількості простих чисел на відрізку $[1,n]$ , то теорема залишається істинною для нескінченних множин додатної щільності, коли $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N}}$ , $\delta >0$ . Таким чином, можна переформулювати останню теорему для фіксованої щільності.

Існує стала $c$ така, що для довільної множини простих чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ та її щільності $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ виконуватиметься наслідок: якщо $N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right)}}}$ , то $A$ містить тричленну арифметичну прогресію.

Найдовші послідовності

18 січня 2007 року Ярослав Вроблевський знайшов перший випадок арифметичної прогресії з 24 простих чисел^[4]:
$468395662504823+205619\cdot 223092870\cdot n$ , від n = 0 до 23.

Тут і далі стала

223092870=23\#

— це добуток усіх простих чисел, не більших 23 (прайморіал).

17 травня 2008 року Вроблевський та Раанан Чермоні знайшли послідовність із 25 простих чисел:
$6171054912832631+366384\cdot 23\#\cdot n$ , від n = 0 до 24.
12 квітня 2010 року Бенуа Перішон, користуючись програмою Вроблевського та Джефа Рейнолдса в проєкті розподілених обчислень PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 26 простих чисел:
$43142746595714191+23681770\cdot 23\#\cdot n$ , від n = 0 до 25 (послідовність A204189 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
23 вересня 2019 року Роб Гаан, учасник проєкту PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 27 простих чисел:
$224584605939537911+81292139\cdot 23\#\cdot n$ , від n = 0 до 26 (послідовність A327760 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Варіації та узагальнення

2006 року Тао і Тамар Ціґлер узагальнили результат до поліноміальних прогресій^[5]. Точніше, для будь-яких даних многочленів із цілими коефіцієнтами P₁, …, P_k однієї змінної m із нульовим сталим членом є нескінченно багато цілих x, m таких, що x + P₁(m), …, x + P_k(m) — прості числа. Особливий випадок, коли поліноми — це m, 2m, …, km, тягне за собою попередній результат (існують арифметичні прогресії простих чисел довжини k).

Див. також

Примітки

↑ Green, Ben; Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 167 (2): 481—547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481
↑ И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях [Архівовано 2018-07-24 у Wayback Machine.], с. 117.
↑ Green, Ben (2005), Roth's theorem in the primes, Annals of Mathematics, 161 (3): 1609—1636, arXiv:math.NT/0302311, doi:10.4007/annals.2005.161.1609.
↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records [Архівовано 2014-07-14 у Wayback Machine.].
↑ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008), The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, Acta Mathematica, 201: 213—305, arXiv:math.NT/0610050, doi:10.1007/s11511-008-0032-5.

Посилання

MathWorld news article on proof(англ.)
Primes in Arithmetic Progression Records(англ.)

[1] Green, Ben; Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 167 (2): 481—547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481

[2] И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях [Архівовано 2018-07-24 у Wayback Machine.], с. 117.

[3] Green, Ben (2005), Roth's theorem in the primes, Annals of Mathematics, 161 (3): 1609—1636, arXiv:math.NT/0302311, doi:10.4007/annals.2005.161.1609.

[4] Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records [Архівовано 2014-07-14 у Wayback Machine.].

[5] Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008), The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, Acta Mathematica, 201: 213—305, arXiv:math.NT/0610050, doi:10.1007/s11511-008-0032-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]