У математиці під теоремою Парсеваля^[1] зазвичай розуміють унітарність перетворення Фур'є; тобто, що сума (або інтеграл) квадрата функції дорівнює сумі (або інтегралу) квадрата його перетворення. Вона бере початок із теореми про ряди Марка-Антуана Парсеваля (1799 р.), яка згодом була застосована до рядів Фур'є. Також дана теорема відома як теорема Релая про енергію, або тотожність Релея, після Джона Вільяма Стретта, Лорда Релея.^[2]

Хоча термін теорема Парсеваля часто використовується для опису унітарності будь-якого перетворення Фур'є, особливо у фізиці, найбільш загальну форму цієї властивості коректніше називати Теорема Планшереля.^[3]

Нехай ${\displaystyle A(x)}$ і ${\displaystyle B(x)}$ — дві комплекснозначні функції на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ з періодом ${\displaystyle 2\pi }$, що є квадратично-інтегрованими (відносно міри Лебега) на інтервалах довжини періоду, з рядами Фур'є

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\rm {e}}^{inx}}$

та

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}{\rm {e}}^{inx}}$

відповідно. Тоді

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,{\rm {d}}x,}$

де ${\displaystyle i}$ — уявна одиниця, а горизонтальні риски позначають комплесну спряженість.

У загальному випадку, для абелевої локально компактної групи ${\displaystyle G}$ з дуальною групою Понтрягіна ${\displaystyle G^{\wedge }}$ теорема Парсеваля стверджує, що перетворення Понтрягіна-Фур'є є унітарним оператором між просторами Гільберта ${\displaystyle L^{2}(G)}$ та ${\displaystyle L^{2}(G^{\wedge })}$ (з інтегруванням по відношенню до належним чином відмасштабовуваної міри Хаара для двох груп). Якщо ${\displaystyle G}$ — одиничне коло ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle G^{\wedge }}$ — цілі числа, то це відповідає випадку про який говорилося вище. Якщо ${\displaystyle G}$ — дійсна пряма ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle G^{\wedge }}$ — також ${\displaystyle \mathbb {R} }$, тоді унітарне перетворення — це перетворення Фур'є на дійсній прямій. Якщо ${\displaystyle G}$ — циклічна група ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{n}}$, то вона знову самодуальна, а перетворення Понтрягіна-Фур'є — це те, що називають дискретним перетворенням Фур'є у прикладних застосуваннях.

Теорема Парсеваля також може бути сформульована наступним чином: нехай функція ${\displaystyle f(x)}$ є квадратично-інтегрованою на відрізку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ (тобто функції ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle f^{2}(x)}$ інтегровні на цьому відрізку) та має наступний розклад у ряд Фур'є:

${\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}$

Тоді^[4][5][6]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).}$

У фізиці та техніці теорема Парсеваля часто записується як

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f,}$

де ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ — неперервне перетворення Фур'є (в нормалізованій, унітарній формі) функції ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ — частота в радіанах за секунду.

Інтерпретація цієї форми теореми полягає в тому, що повна енергія сигналу може бути обчислена шляхом підсумовування енергії за часовою вибіркою або енергії його спектру за частотою.

Для сигналів дискретних у часі теорема набуває вигляду:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi ,}$

де ${\displaystyle X_{2\pi }}$ — перетворення Фур'є з дискретним часом для сигналу ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \phi }$ — кутова частота (наприклад, в радіанах) сигналу ${\displaystyle x}$.

Навпаки, для дискретного перетворення Фур'є співвідношення набуває вигляду:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2},}$

де ${\displaystyle X[k]}$ — дискретне перетворення Фур'є для сигналу ${\displaystyle x[n]}$, обидва довжини ${\displaystyle N}$.

Теорема Парсеваля тісно пов'язана з іншими математичними результатами, що використовують унітарні перетворення:

• Рівність Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Вінера — Хінчіна — Колмогорова^[en]
• Нерівність Бесселя
• Ряд Фур'є

1. ↑ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), vol. 1, pages 638–648 (1806).
2. ↑ Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," Philosophical Magazine, vol. 27, pages 460–469. Available on-line here [Архівовано 7 квітня 2019 у Wayback Machine.].
3. ↑ Plancherel, Michel (1910) "Contribution à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298–335.
4. ↑ Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus. Т. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. с. 439.
5. ↑ Advanced Calculus (вид. 4th). Reading, MA: Addison Wesley. 1991. ISBN 0-201-57888-3.
6. ↑ Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. с. 119.