PROFILPELAJAR.COM

Теорема Мінковського про опукле тіло - один із найбільш фундаментальних результатів теорії чисел, основа геометричної теорії чисел. Теорема була доведена в 1896 році німецьким математиком Германом Мінковським в його фундаментальній роботі "Геометрія чисел".

Формулювання

Нехай L - ґратка, визначинк якої дорівнює $det(L)$ та S - опукла симетрична підмножина простору $\mathbb {R} ^{n}$ . Теорема Мінковського стверджує, що якщо міра множини S більша за $2^{n}\det(L)$ , тоді існує ненульовий елемент $l\in L\cap S$ .

Застосування теореми

У теорії чисел теорему застосовують, щоб пов'язати локальні властивості певної алгебраїчної сисетми із її глобальними властивостями. Класичною ілюстрацією таких міркувань є теорема Ферма про суму двох квадратів.

Теорема Ферма

Нехай $p$ - просте натуральне число. Існує пара чисел $(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ така що $p=a^{2}+b^{2}$ тоді й лише тоді, коли $p\equiv 1{\bmod {4}}$ .

Доведення

Нехай $p=a^{2}+b^{2}$ , тоді $-1$ є квадратом в полі $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . Обчислюючи значення символу Лежандра для $-1$ , маємо $(-1)^{\frac {p-1}{4}}=1$ . Таким чином, обов'язково виконується рівність $p\equiv 1{\bmod {4}}$ .

У зворотньому напрямку, припустимо що $p\equiv 1{\bmod {4}}$ . Тоді $-1$ є квадратом в полі $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , тож існує $u\in \mathbb {Z}$ , таке що $u^{2}\equiv 1{\bmod {p}}$ . Розглянемо ґратку $L~=~\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid a\equiv ub{\bmod {p}}\}$ та відкритий диск $D$ радіусу ${\sqrt {2p}}$ . Диск є опуклою симетричною множиною та його міра задовольняє нерівності $\mu (D)\geq 4\det(L)$ . Таким чином, для ґратки $L$ та диска $D$ справедлива теорема Мінковського. Відтак, за теоремою існує ненульовий вектор $(a,b)\in L\cap D$ . Оскільки $(a,b)\in D$ , то має місце нерівність $a^{2}+b^{2}<2p$ . Одночасно $p\mid a^{2}+b^{2}$ , так як $(a,b)\in L$ . Таким чином, $p=a^{2}+b^{2}$ .

Пов'язані результати

Зазначимо, що теорема Мінковського не тільки доводить існування розкладу в суму двох квадратів для простих чисел конгруентних одиниці по модулю чотири, але й надає практичний спосіб знаходження даного розкладу. Дійсно, така пара чисел $(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ є найкоротшим вектором ґратки $L$ . Отже, можна застосувати алгоритми пошуку найкоротшого вектору в ґратках. У цьому випадку $L$ - це ґратка розмірності $2$ , тож розклад в суму двох квадратів можна знайти за допомогою алгоритму Гауса--Лагранжа.

Застосовуючи квадратичний закон взаємності разом із теоремою Мінковського можна довести інші цікаві теореми теорії чисел.

Просте непарне число $p$ можна розкласти як $a^{2}+2b^{2}$ для певної пари $(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ тоді й лише тоді, коли $p\equiv 1,3{\bmod {8}}$ .