В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільну (зліченно-адитивну) міру на деякому кільці ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ підмножин множини ${\displaystyle X}$ можна продовжити на σ-кільце, породжене кільцем ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега.

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — кільце на множині ${\displaystyle \,\Omega }$ і ${\displaystyle \mu :R\to [0,+\infty ]}$ — міра на ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Тоді існує міра ${\displaystyle \mu ':\sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]}$ така, що ${\displaystyle \,\mu '}$ є продовженням ${\displaystyle \,\mu }$. (Тобто, ${\displaystyle \mu '_{|_{R}}=\mu }$).

Тут ${\displaystyle \,\sigma ({\mathcal {R}})}$ — ${\displaystyle \sigma }$-кільце, породжене ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$.

Якщо міра ${\displaystyle \mu }$ — σ-скінченна, то ${\displaystyle \mu '}$ є єдиною і також σ-скінченною.

Більш загально таке продовження існує для міри, заданої на напівкільці, тобто сім'ї підмножин, що задовольняють умови:

• ${\displaystyle \varnothing \in S}$
• Для всіх ${\displaystyle A,B\in S}$ також ${\displaystyle A\cap B\in S}$
• Для всіх ${\displaystyle A,B\in S}$ існують такі попарно неперетинні множини ${\displaystyle K_{i}\in S}$, де ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$, що ${\displaystyle A\setminus B=\biguplus K_{i}}$ .

Однак цей випадок легко зводиться до попереднього, оскільки кожне напівкільце породжує кільце, елементами якого є:

${\displaystyle R(S)=\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}{A_{i}},A_{i}\in S\}}$

Також міра, задана на напівкільці, поширюється на все кільце:

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{p=1}^{n}{\mu (A_{p})}}$ для ${\displaystyle A=\biguplus _{p=1}^{n}{A_{p}}}$ із A_p в ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ .

Нехай ${\displaystyle \mu }$ — міра, визначена на кільці ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ підмножин множини ${\displaystyle \Omega \,}$.

Тоді можна визначити ${\displaystyle \mu ^{*}}$ — функцію, визначену на ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$ так :

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mathrm {inf} \{\sum _{k=1}^{+\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{+\infty }E_{k}\}.}$

Дана функція є зовнішньою мірою, породженою мірою ${\displaystyle \mu }$.

Позначимо ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ сім'ю підмножин ${\displaystyle A}$ множини ${\displaystyle \Omega \,}$, для яких виконується:

Для всіх ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$ ${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)}$.

Тоді ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ є σ-кільцем і на ньому можна визначити міру ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)}$ для всіх ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$. Визначена таким чином функція є мірою, що збігається з ${\displaystyle \mu }$ на множинах кільця ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Також ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ містить σ-алгебру ${\displaystyle \,\sigma ({\mathcal {R}})}$ і звуження ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ на елементи ${\displaystyle \,\sigma (R)}$ і буде необхідним розширенням міри.

σ-кільце ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ є поповненням кільця ${\displaystyle \,\sigma ({\mathcal {R}})}$, відповідно вони збігаються, якщо визначена міра на ${\displaystyle \,\sigma ({\mathcal {R}})}$ є повною.

Тому для доведення теореми достатньо довести, що для довільної зовнішньої міри ${\displaystyle \mu ^{*}}$ (не обов'язково породженої кільцем) визначені вище ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ є σ-кільцем, а ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ — мірою на цьому σ-кільці і, що у випадку якщо ${\displaystyle \mu ^{*}}$ є породженою кільцем ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, то ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {M}}_{\mu }.}$ Також у випадку σ-скінченності міри доводиться єдиність продовження. Нехай для довільної множини ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$також ${\displaystyle {\overline {E}}=\Omega \setminus E.}$

Оскільки для довільної підмножини ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$і для порожньої множини виконується рівність ${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap \varnothing )+\mu ^{*}(E\setminus \varnothing )=\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E)}$ то ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {M}}_{\mu }.}$

Якщо ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ то і ${\displaystyle {\overline {A}}\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ оскільки для довільної підмножини ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$виконується рівність

${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap {\overline {A}})+\mu ^{*}(E\setminus {\overline {A}})=\mu ^{*}(E\setminus A)+\mu ^{*}(E\cap A)=\mu ^{*}(E).}$

Нехай тепер ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ і ${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{\mu }.}$ Для довільної підмножини ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$із вимірності першої, а потім другої множини одержуються рівності:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}})=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}}\cap B)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}}\cap {\overline {B}}).}$

Також із ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ і властивостей елементарних операцій над множинами одержуються рівності:

${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap (A\cup B))=\mu ^{*}(E\cap (A\cup B)\cap A)+\mu ^{*}(E\cap (A\cup B)\cap {\overline {A}})=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap {\overline {A}}\cap B).}$

Із попередніх нерівностей із застосуванням правила де Моргана остаточно:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap (A\cup B))+\mu ^{*}(E\cap {\overline {(A\cup B)}}).}$

Звідси також ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ і з попередніх двох властивостей і правила де Моргана ${\displaystyle A\cap B={\overline {{\overline {A}}\cup {\overline {B}}}}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.}$ Також ${\displaystyle A\setminus B=A\cap {\overline {B}}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.}$ Тобто ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ є кільцем множин.

Нехай тепер ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {M}}_{\mu },\quad n\geqslant 1.}$ Тоді також ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.}$ Для доведення, спершу для довільної підмножини ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$ із субадитивності зовнішньої міри відразу випливає нерівність:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)\leqslant \mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right).}$

Для доведення протилежної нерівності, зважаючи що ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ є алгеброю можна замість ${\displaystyle A_{n}}$ розглядати множини ${\displaystyle A_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ і вважати, що множини не перетинаються. Тоді за індукцією із вимірності всіх множин для довільного ${\displaystyle n\geqslant 1}$ і довільної підмножини ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$ виконується рівність:

${\displaystyle \mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i}).}$

Із цієї рівності і монотонності зовнішньої міри:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}}\right)\geqslant \sum _{i=1}^{n}\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right).}$

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх ${\displaystyle n\geqslant 1}$ то із використанням властивості субадитивності зовнішньої міри одержується необхідна нерівність:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)\geqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu ^{*}(E\cap A_{i})+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right)\geqslant \mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right).}$

Таким чином із двох протилежних нерівностей остаточно:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)+\mu ^{*}\left(E\ \bigcap \ {\overline {\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}}\right),}$

тобто ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {M}}_{\mu }.}$

Якщо взяти ${\displaystyle E=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ то також одержується рівність ${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}A_{n},}$ тобто обмеження ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ зовнішньої міри ${\displaystyle \mu ^{*}}$ на множини із ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ є сигма-адитивною функцією. Вона також очевидно є додатною, тобто мірою на ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }.}$

Нехай тепер ${\displaystyle \mu ^{*}}$ є породженою кільцем ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ і мірою ${\displaystyle \mu }$ на ньому. Тоді ${\displaystyle \mu (A)=\mu ^{*}(A),\ \forall A\in {\mathcal {R}}.}$ Справді, ${\displaystyle \mu ^{*}(A)\leqslant \mu (A),\ }$ оскільки ${\displaystyle A\subset A\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \ldots .}$Навпаки, для будь-якої послідовності ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1.}$ для якої ${\displaystyle A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ також ${\displaystyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }(A\cap A_{n}).}$

Із σ-адитивності і монотонності міри на кільці випливає нерівність ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A\cap A_{n})\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$ Тому, згідно з означенням зовнішньої міри також ${\displaystyle \mu (A)\leqslant \mu ^{*}(A).}$

Нехай ${\displaystyle A\in {\mathcal {R}}}$, ${\displaystyle \varepsilon >0}$ — довільне додатне число, а ${\displaystyle E\subset \Omega \,}$ — деяка множина для якої ${\displaystyle \mu ^{*}(E)<\infty .}$ Згідно із означенням зовнішньої міри породженої мірою на кільці тоді існує послідовність ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1}$ для якої ${\displaystyle E\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ і ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\mu ^{*}(E)+\varepsilon .}$

Із урахуванням адитивності міри на кільці і субадитивності зовнішньої міри:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)+\varepsilon >\sum _{n=1}^{\infty }(\mu (A_{n}\cap A)+\mu (A_{n}\cap {\overline {A}}))\geqslant \mu (E\cap A)+\mu (E\cap {\overline {A}}).}$

Оскільки вказані нерівності виконуються для всіх ${\displaystyle \varepsilon >0}$, то ${\displaystyle \mu ^{*}(E)\geqslant \mu (E\cap A)+\mu (E\cap {\overline {A}}).}$ Протилежна нерівність завжди виконується для зовнішньої міри, тому насправді ${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu (E\cap A)+\mu (E\cap {\overline {A}}),}$ тобто усі множини кільця ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ належать ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }.}$ Оскільки σ-кільце ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ породжене кільцем ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є перетином усіх σ-кілець, що містять ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, то також і ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {M}}_{\mu }.}$

Нехай міра ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ є продовженням на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ міри ${\displaystyle \mu }$ на кільці ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ одержаним у вказаний вище спосіб, а ${\displaystyle \lambda }$ є деяким продовженням на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ міри ${\displaystyle \mu }$. Нехай спершу, одна із цих мір є скінченною на всіх множинах із ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$. Якщо позначити ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ — клас усіх підмножин із ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ для яких міри ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ є рівними, тоді ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset {\mathcal {Q}}\subset \sigma ({\mathcal {R}})}$ і ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ є монотонним класом, тобто:

1. Якщо ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {Q}}}$ і ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }$ тоді ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in M,}$ і
2. Якщо ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in M}$ і ${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots }$ тоді ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in M.}$

Справді, для зростаючої послідовності множин ${\displaystyle A_{n}}$ із ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ із неперервності міри знизу одержується, що:

${\displaystyle \lambda \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\lambda (A_{n})=\lim _{n\to \infty }{\overline {\mu }}(A_{n})={\overline {\mu }}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right).}$

Тобто ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {Q}}.}$ Аналогічно для спадної послідовності множин ${\displaystyle B_{n}}$ із ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ за допомогою неперервності міри зверху і припущення скінченності однієї із мір:

${\displaystyle \lambda \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\lambda (B_{n})=\lim _{n\to \infty }{\overline {\mu }}(B_{n})={\overline {\mu }}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}\right).}$

відповідно також ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {Q}}.}$

Оскільки ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ є монотонним класом, для якого ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset {\mathcal {Q}}\subset \sigma ({\mathcal {R}})}$, то згідно теореми про монотонний клас ${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\sigma ({\mathcal {R}}),}$ тобто ${\displaystyle \lambda ={\overline {\mu }}}$ для всіх множин із ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$.

Якщо ${\displaystyle A\in {\mathcal {Q}}}$ є множиною для якої одна із мір ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ є скінченною. Тоді із попереднього міри ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ є рівними на множинах ${\displaystyle A\cap \sigma ({\mathcal {R}})=\sigma (A\cap {\mathcal {R}})}$. Остаточно результат одержується із того, що кожна множина із ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ є підмножиною об'єднання не більш ніж зліченної кількості множин із ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ скінченної міри.

• Якщо на дійсній прямій взяти напівкільце ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ інтервалів ${\displaystyle (a,b),\quad a<b}$, де міра ${\displaystyle (a,b)}$ рівна (b-a), то подана конструкція дає визначення міри Бореля на борелівських множинах ${\displaystyle \,\sigma ({\mathcal {S}})}$. Множині ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ тут відповідає множина вимірних за Лебегом множин.
• Умова σ-скінченності є необхідною для єдиності продовження. Наприклад, на множині X всіх раціональних чисел проміжку [0 , 1] можна задати напівкільце раціональних чисел проміжку [a , b), де a < b — раціональні числа з проміжку [0 , 1]. σ-кільце, породжене цим напівкільцем, є множиною всіх підмножин X. Задавши тепер ${\displaystyle \mu (A)}$, рівне кількості елементів A, і ${\displaystyle \mu ^{'}(A)=2\mu (A)}$, маємо, що обидві міри збігаються (тобто однакові) на напівкільці і породженому кільці (оскільки всі непорожні множини цих напівкільця і кільця є безмежними, то обидві міри на всіх цих множинах рівні ${\displaystyle \infty }$), але не збігаються на породженому σ-кільці. Це означає, що в даному випадку продовження не є єдиним.

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989 (рос.)
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953 (рос.)