Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. Ви можете допомогти вдосконалити цю статтю, погодивши її із чинними мовними стандартами. (серпень 2015)

Теорема Вітни про вкладення — затвердження дифференціальної топології, згідно якому довільно гладке ${\displaystyle m}$-вимірне багатообразність з лічильною базою допускає гладке вкладення в ${\displaystyle m}$-вимірний євклідів простір. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Наведений результат є оптимальним, коли ${\displaystyle m}$ — ступінь двійки: тоді ${\displaystyle m}$-вимірний проєктивний простір неможливо вкласти в ${\displaystyle (2m-1)}$-вимірний евклідів простір.

Випадки ${\displaystyle m=1}$ і ${\displaystyle m=2}$ встановлюються напряму. Для доказу випадку ${\displaystyle m\geqslant 3}$, використовується факт, що гладке відображення загального положення ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}}$ є імерсією з кінцевою кількістю точок трансверсального самоперетину.

Позбутися від цих точок самоперетину можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні. Він складається з наступного. Візьмемо точки ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2m}}$самоперетин відображення ${\displaystyle f}$ маючи різні знаки. Візьмемо крапки ${\displaystyle x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M}$, для яких ${\displaystyle f(x_{p})=f(y_{p})=p}$ і ${\displaystyle f(x_{q})=f(y_{q})=q}$. З'єднаємо ${\displaystyle x_{p}}$ та ${\displaystyle x_{q}}$ гладкою кривою ${\displaystyle x\subset M}$. З'єднаємо ${\displaystyle y_{p}}$ і ${\displaystyle y_{q}}$ гладкою кривою ${\displaystyle y\subset M}$. Тоді ${\displaystyle f(x\cup y)}$ є замкнута крива в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$. Далі побудуємо відображення ${\displaystyle h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ з границею ${\displaystyle h(\partial D^{2})=f(x\cup y)}$. Загалом, ${\displaystyle h}$ є вкладенням та ${\displaystyle h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})}$ (якраз тут використовується те, що ${\displaystyle m\geqslant 3}$). Тоді можна ізотопувати ${\displaystyle f}$ у маленькій околиці диска ${\displaystyle h(D^{2})}$ ак, щоб ця пара точок самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, представивши картинку для ${\displaystyle m=1}$ (В якій властивості диска виявилися виконані випадково, а не за загальним положенням).

Наведемо малюнок іншого способу позбавитися точок самоперетину відображення загального положення ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}}$. Він ґрунтується на важливій ідеї поглинання. (Іноді це застосування цієї іншої ідеї помилково називають трюком Вітні.) Візьмемо точку ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2m}}$самоперетину відображення ${\displaystyle f}$. Візьмемо крапки ${\displaystyle x,y\in M}$, для яких ${\displaystyle f(x)=f(y)=p}$. З'єднаємо ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ гладкою кривою ${\displaystyle l\subset M}$. Тоді ${\displaystyle f(l)}$ є замкнута крива в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$. Далі побудуємо відображення ${\displaystyle h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ з кордоном ${\displaystyle h(\partial D^{2})=f(l)}$. Загалом, ${\displaystyle h}$ є вкладенням та ${\displaystyle h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})}$ (якраз тут використовується те, що m⩾3). Тепер можна ізотопувати ${\displaystyle f}$ у маленькій околиці диска ${\displaystyle h(D^{2})}$ так, щоб ця точка самоперетину зникла.

Нехай ${\displaystyle M}$ є гладке m-вимірне різноманіття, де ${\displaystyle m>1}$:

• Якщо m не є ступенем двійки, тоді існує вкладення ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$.
• ${\displaystyle M}$ може бути занурене в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$.
  • Більше того ${\displaystyle M}$ може бути занурене в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-a}}$, де ${\displaystyle a}$ є число одиниць у двійковому представлені числа ${\displaystyle m}$.
    • Останній результат є оптимальним: для будь-якого ${\displaystyle m}$ можна можна побудувати m-вимірне різноманіття (наприклад добуток речових проективних просторів), яке неможливо занурити в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-a-1}}$.
• Теорема Мостоу — Паласа даёт эквиваринтный вариант теоремы Уитни о вложении.

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes., 347 (2): 248—342
• класифікація вкладень (англ.)