Теорема Бо́рсука — У́ляма стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якщо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Улямом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком^[en].

Якщо задана неперервна функція ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$, де ${\displaystyle S^{n}}$ — сфера в ${\displaystyle (n+1)}$-мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки ${\displaystyle a,b\in S}$, що ${\displaystyle f(a)=f(b)}$.

З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. При цьому припускається, що температура і атмосферний тиск є неперервними функціями точки земної поверхні. Для випадку ж, коли n = 1, з теореми випливає, що на земному екваторі завжди існує пара діаметрально протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.

• З теореми Борсука — Уляма випливає теорема Брауера про нерухому точку.
• Жодна підмножина ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ не є гомеоморфною до ${\displaystyle S^{n}}$.
• Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо ${\displaystyle S^{n}}$ покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Уляма)
• Для довільних компактних множин ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.

• K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177–190.
• Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
• L. Lyusternik and S. Shnirel'man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
• Su,, F.E. (Nov. 1997). - Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction (PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855—859. Архів оригіналу (PDF) за 13 жовтня 2008. Процитовано 1 квітня 2010.
• Allen Hatcher Algebraic Topology

• Borsuk–Ulam Theorem — Explained by a Youtube Nerd (англ.)
• Лема Борсука і Теорема Борсука — Улама (англ.)