Результат про властивості класів неперервних відображень , що діють на лінійних топологічних просторах.
Покладаємо, що
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
топологічними векторними просторами ;
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
лінійних відображень із
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
B
{\displaystyle B}
множина усіх
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
орбіти
Γ Γ -->
:=
{
Λ Λ -->
(
x
)
|
Λ Λ -->
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
}
{\displaystyle \Gamma :=\{\Lambda (x)|\Lambda \in \Gamma \}}
Y
{\displaystyle Y}
Якщо тепер
B
{\displaystyle B}
множиною другої категорії [ 1]
X
{\displaystyle X}
B
=
x
{\displaystyle B=x}
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
[ 2] [ 3] [ 4] Дамо також наступне формулювання, застосовне в багатьох часткових випадках:
Нехай,
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
повні метричні простори ,
Γ Γ -->
:=
{
Λ Λ -->
|
Λ Λ -->
:
X
→ → -->
Y
}
{\displaystyle \Gamma :=\{\Lambda |\Lambda :X\rightarrow Y\}}
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
,
sup
Λ Λ -->
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
‖ ‖ -->
Λ Λ -->
(
x
)
‖ ‖ -->
<
∞ ∞ -->
{\displaystyle \forall x\in X,\ {\underset {\Lambda \in \Gamma }{\sup }}\|\Lambda (x)\|<\infty }
Тоді
sup
Λ Λ -->
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
‖ ‖ -->
Λ Λ -->
‖ ‖ -->
<
∞ ∞ -->
{\displaystyle {\underset {\Lambda \in \Gamma }{\sup }}\|\Lambda \|<\infty }
[ 4] Простір
X
{\displaystyle X}
точній верхній межі у другому формулюванні можна замінити на будь-яку підмножину другої категорії в
X
{\displaystyle X}
[ 5]
X
{\displaystyle X}
бочковий простір[ 6] бочкового простору. Множина
A
{\displaystyle A}
збалансована
∀ ∀ -->
α α -->
∈ ∈ -->
C
,
|
α α -->
|
≤ ≤ -->
1
:
α α -->
A
⊂ ⊂ -->
A
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} ,\ |\alpha |\leq 1:\alpha A\subset A}
поглинаючою , якщо
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
∃ ∃ -->
α α -->
:
x
∈ ∈ -->
α α -->
A
{\displaystyle \forall x\in X\ \exists \alpha :x\in \alpha A}
бочковий простір — той, у якому кожна замкнена збалансована поглинаюча опукла множина є околом нуля.
Теорема може бути доведена з використанням теореми Бера про категорії .
↑ =не є множиною першої категорії ; інша назва — простір Бера
↑ тобто, для кожного околу нуля
U
x
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle U_{x}\subset X}
U
y
⊂ ⊂ -->
Y
{\displaystyle U_{y}\subset Y}
Γ Γ -->
(
U
x
)
⊂ ⊂ -->
U
y
{\displaystyle \Gamma (U_{x})\subset U_{y}}
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
↑ Rudin W., Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc. 1973 — p.43
↑ а б http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Banach-Steinhaus_theorem ↑ Тобто, в них будь-який окіл нуля містить опуклий окіл нуля.
↑ barrelled space
[
Простори
Теореми Оператори Алгебри Проблеми Застосування Узагальнення
