Проблема Гурвіца — проблема в математиці (названа на честь Адольфа Гурвіца), пов'язана зі знаходженнам мультиплікативних відношень між квадратичними формами.

Існує рівність розмірності 2 (тотожність Брамагупти)

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}}$

Ще існують тотожність чотирьох квадратів, тотожність восьми квадратів.

Їх можна використовувати для правила множення норм комплексних числе ${\displaystyle \mathbb {C} }$, кватерніонів (${\displaystyle \mathbb {H} }$), октоніонів (${\displaystyle \mathbb {O} }$) відповідно.

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad \|x\|\|y\|=\|xy\|}$.

Проблема Гурвіца: для поля K знайти загальне відношення у формі

${\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}$

де z — білінійна форма від x та y.

Якщо така тотожність існує, трійки ${\displaystyle \;(r,s,n)\;}$ називають допустимими для K,. Тривіальними допустимими є трійки ${\displaystyle \;(r,s,rs)\;.}$ Проблема є не цікавою коли K має характеристику 2, оскільки над такими полями сума двох квадратів є квадратом.

1898 року Гурвіц сформулював проблему для випадку ${\displaystyle \;r=s=n\;}$ і показав, що для поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$, допустимими є лише ${\displaystyle \,(n,n,n)\,}$ де ${\displaystyle \;n\in \{1,2,4,8\}\;.}$ Його доведення можна розширити для довільного поля з характеристикою, відмінною від  2.

Проблема Гурвіца — Радона полягає у знаходженні трійок виду ${\displaystyle \,(r,n,n)\;.}$ Очевидно, ${\displaystyle \;(1,n,n)\;}$ є допустимими. Теорема стверджує, що допустимими є ${\displaystyle \;\left(\rho (n),n,n\right)\;}$, де ${\displaystyle \,\rho (n)\,}$ визначена для ${\displaystyle \;n=2^{u}v\;,}$ v непарне, ${\displaystyle \;u=4a+b\;,}$ із ${\displaystyle \;0\leq b\leq 3\;,}$ та ${\displaystyle \;\rho (n)=8a+2^{b}\;.}$

Іншими допустимими трійками є ${\displaystyle (3,5,7),(10,10,16).}$

• Композитна алгебра
• Теорема Гурвіца про композитні алгебри