-примарна (або -праймерна) абелева група (де — фіксоване просте число) — абелева група , така, що порядок будь-якого елемента з є степенем .
Приклади
- — адитивна група класів залишків за модулю ;
- — адитивна група кільця многочленів над полем .
Властивості
- Будь-яка періодична абелева група (тобто група без елементів нескінченного порядку) розкладається на пряму суму -примарних підгруп.
Примарна абелева група називається елементарною, якщо всі її ненульові елементи мають порядок рівний .
- Абелева група є -примарною елементарною тоді й лише тоді, коли вона розкладається в пряму суму груп вигляду .
-висотою елемента називають найменше натуральне число , таке що . Якщо такого натурального не існує, то елемент має нескінченну -висоту.
- Критерій Кулікова[ru]: -примарна абелева група є прямою сумою циклічних груп тоді й лише тоді, коли є об'єднанням зростаючого ланцюжка підгруп
- ,
де -висоти ненульових елементів підгруп менші від фіксованого елемента .
Критерій Кулікова узагальнює теореми Прюфера[ru]:
- Перша теорема Прюфера: Обмежена -примарна (періодична) абелева група є прямою сумою циклічних підгруп.
- Друга теорема Прюфера: Зліченна -примарна абелева група розкладається в пряму суму циклічних підгруп тоді й лише тоді, коли вона не містить ненульових елементів нескінченної -висоти.
Література
- Л. Фукс. Бесконечные абелевы группы. — М. : Мир, 1974, 1977. — Т. 1, 2.
- Л. Я. Куликов. К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник. — 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
- H. Prüfer. Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift. — 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.