Правило Борна в квантовій механіці визначає ймовірність отримання певного результату при вимірюванні в квантовій системі. Його сформулював 1926 року німецький фізик Макс Борн^[1]. У найпростішій формі правило стверджує, що густина ймовірності виявити частинку в певній точці пропорційна квадрату модуля її хвильової функції в цій точці. Правило Борна належить до фундаментальних принципів квантової механіки. Було чимало спроб вивести його з інших припущень квантової механіки, але результати залишаються непереконливими.

Правило Борна стверджує, що при вимірюванні спостережуваної, якій відповідає ермітів оператор ${\displaystyle A}$ у системі з нормованою хвильовою функцією ${\displaystyle |\psi \rangle }$ (дивіться бра-кет нотація)

• результатом буде одне з власних значень ${\displaystyle \lambda }$ оператора ${\displaystyle A}$, а
• імовірність отримати певне власне значення дорівнює ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$, де ${\displaystyle P_{i}}$ — проєкція ${\displaystyle A}$ на власний простір, що відповідає ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

У разі, коли власний простір ${\displaystyle A}$, що відповідає ${\displaystyle \lambda _{i}}$ одновимірний і визначається нормалізованим власним вектором ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$, ${\displaystyle P_{i}}$ дорівнює ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$, тож імовірність ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ дорівнює ${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$. Оскільки комплексне число ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ відоме як амплітуда ймовірності того, що вектор стану ${\displaystyle |\psi \rangle }$ відповідає воласному вектору ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$, зазвичай правило Борна описують, як твердження, що ймовірність дорівнює квадрату амплітуди (точніше добутку амплітуди на спряжене до неї число). Еквівалентно, ймовірність можна записати як ${\displaystyle |\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}}$.

У разі, коли спектр ${\displaystyle A}$ не цілком дискретний, спектральна теорема доводить існування певної проективної міри ${\displaystyle Q}$, що є спектральною мірою ${\displaystyle A}$. Тоді

• імовірність того. що результат вимірювання належить мірній множині ${\displaystyle M}$ задається величиною ${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$.

Якщо розглядати хвильову функцію ${\displaystyle \psi }$ для окремої безструктурної частинки в координатному просторі, це зводиться до твердження, що густина ймовірності ${\displaystyle p(x,y,z)}$ вимірювання положення в час ${\displaystyle t_{0}}$ задається виразом

${\displaystyle p(x,y,z)=}$${\displaystyle |\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$

Борн сформулював правило в роботі 1929 року^[1]. Роз'язавши рівняння Шредінгера для задачі розсіяння, під впивом роботи Ейнштейна з фотоефекту^[2] Він у примітках внизу сторінки, він зробив висновок, що таке правило є єдиним тлумаченням розв'язку. 1954 року, разом із Вальтером Боте, він отримав Нобеліську премію з фізики за цю та інші роботи^[2]. Джон фон Нейман обговорює застосування правила Борна в книзі 1932 року^[3].