Пляшка Кляйна

Пляшка Кляйна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф. Кляйном.

Походження назви

Назва, мабуть, походить від неправильного перекладу німецького слова «поверхня Кляйна» (нім. die Kleinsche Fläche), де вираз die Fläche (поверхня) в німецькій мові близький за написанням до слова die Flasche (пляшка). Однак, нова назва стала популярною у світі і непогано відповідає формі поверхні, також стала звичною і в Німеччині.^[1]

Топологія «пляшки»

Уявлення про пляшку Кляйна можна отримати, якщо звичайну пляшку, у дні якої зроблено отвір, доповнити з'єднувальною трубкою, одним кінцем надітою на цей виступ, а другим — на шийку пляшки (див. малюнок.). Пляшка Кляйна в тривимірному просторі завжди має лінію самоперетину.

Її можна утворити також з двох стрічок Мебіуса, склеївши їх по граничних лініях.

Пляшка Кляйна визначається просто як прямокутник, у якому об'єднано (склеєно) парами відповідні точки протилежних сторін, причому одна пара була обернена на 180°. На ілюстрації краї позначені кольорами, а напрям орієнтації стрілками.

Пляшка Кляйна не може бути реалізованою в тривимірному просторі, оскільки це призводить до появи самоперетинів поверхні. Без перетинів пляшка може бути реалізованою в чотиривимірному просторі.

Властивості поверхонь типу «пляшка Кляйна» вивчаються в топології.

Параметризація

Реалізація пляшки Кляйна у вигляді «вісімки».

Пляшка Кляйна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:

x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u

y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u

z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v

У цьому вигляді самоперетин має форму геометричного кола в площині XY. Константа $r$ дорівнює радіусу кола. Параметр $u$ задає кут на площині XY і $v$ означає положення біля 8-подібного перерізу. З урахуванням наведеної вище параметризації перетин є фігурою Ліссажу зі співвідношенням амплітуд 2:1

Див. також

Примітки

↑ Bonahon, Francis (5 серпня 2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. ISBN 9780821848166.

Посилання

Оптичні ілюзії. Пляшка Кляйна. [Архівовано 1 червня 2009 у Wayback Machine.]
Анімаційний фільм про пляшку Клейна, створений у 2010 р. при Вільному Університеті м. Берлін (Freie Universität Berlin). [Архівовано 28 березня 2016 у Wayback Machine.]

Read other articles:

Denzel Dumfries

Denzel Dumfries Informasi pribadiNama lengkap Denzel Justus Morris Dumfries[1][2]Tanggal lahir 18 April 1996 (umur 27)[1]Tempat lahir Rotterdam, BelandaTinggi 190 cm (6 ft 3 in)Posisi bermain Bek KananInformasi klubKlub saat ini Inter MilanNomor 2Karier junior Spartaan '202002–2013 VV Smitshoek2013–2014 BVV BarendrechtKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2014–2017 Sparta Rotterdam 65 (2)2017–2018 SC Heerenveen 33 (3)2018–2021 PSV 89 (13)20...

Rusia en la Copa Mundial de Fútbol de 2014

Rusia 24.to puesto Titular Alternativo Datos generales Asociación RFS Confederación UEFA Seudónimo Сборная (El equipo nacional) Ranking FIFA 19.no lugar (junio de 2014) Participación 10.ª Mejor resultado Cuarto lugar (1966) Entrenador Fabio Capello Estadísticas Partidos 3 Goles anotados 2 (0.67 por partido) Goles recibidos 3 (1 por partido) Goleador Aleksandr KerzhakovAleksandr Kokorin (Un gol) Cronología Anterior C. del Sur y Japón 2002 Siguiente Rusia 2018 La selección de f...

Latar (heraldik)

Bagian dari seri mengenaiKelengkapan Heraldik Unsur-Unsur Lambang Kebesaran Perisai Bidang Penopang Jambul Bulang Hulu Mantel Ketopong Mahkota Lapik Perempat Semboyan (atau slogan) Lambang Kebesaran Hulu lbs Latar dalam heraldik adalah keseluruhan permukaan perisai dalam gambar lambang kebesaran. Latar biasanya dilapisi dengan satu atau lebih pulasan (warna, logam, atau kulit bulu). Latar dapat dibagi-bagi menjadi beberapa bidang, dan dapat pula dihiasi dengan pola berwarna-warni. Dalam segel...

Leone Boccali

Leone Boccali appunta l'onorificenza Premio dell'atleta a Fausto Coppi Leone Boccali (Incino, 29 settembre 1902[1] – Roma, 9 dicembre 1964[2]) è stato un giornalista italiano. Fu uno dei più importanti giornalisti sportivi degli anni '30, '40, '50 e '60. Indice 1 Biografia 2 Note 3 Bibliografia 4 Collegamenti esterni Biografia Trasferitosi dalla città natale a Milano, giocò nella squadra boys dell'Inter. È iscritto negli annali dell'Enotria per quello che in tempi succe...

Khwaja Ahmad Abbas

Khwaja Ahmad Abbas / K. A. AbbasLahirKhwaja Ahmad Abbas7 Juni 1914 (2024-06-07UTC10:14)Panipat, Provinsi Punjab, India Britania(sekarang Haryana, India)Meninggal1 Juni 1987(1987-06-01) (umur 72)Mumbai, Maharashtra, IndiaPekerjaanSutradara, Penulis naskah, Novelis, Jurnalis, KolumnisTahun aktif1935–1987 Khwaja Ahmad Abbas (Urdu/Punjabi: خواجہ احمد عباس ; Hindi: ख़्वाजा अहमद अब्बास) (7 Juni 1914 – 1 Juni ...

Lietuvos Taurė 2016

Lietuvos Taurė 2016 Competizione Lietuvos Taurė Sport Calcio Edizione 28ª Organizzatore LFF Date dal 7 maggio 2016al 25 settembre 2016 Luogo Lituania Partecipanti 59 Sito web http://lff.lt/varzybos/taure/ Risultati Vincitore Žalgiris(11º titolo) Secondo Sūduva Cronologia della competizione 2015-2016 2017 Manuale La Lietuvos Taurė 2016 è stata la 28ª edizione del torneo. La competizione è iniziata il 7 maggio 2016 e si è conclusa il 25 settembre 2016 con l...

ويليام ميسي

ويليام ميسي معلومات شخصية الميلاد 13 مارس 1950 (74 سنة)[1][2] ميامي الإقامة لوس أنجلوس مواطنة الولايات المتحدة عضو في نقابة الكتاب الأمريكية الشرقية الزوجة فيليستي هوفمان (1997–) الحياة العملية المدرسة الأم كلية غودارد [لغات أخرى]‏ثانوية أ�...

Project Gutenberg

Online digital book library For other uses, see Project Gutenberg (disambiguation). Project GutenbergEstablishedDecember 1971; 52 years ago (1971-12)(first document posted)[1]CollectionSizeOver 72,500 documentsOther informationWebsitegutenberg.org Project Gutenberg (PG) is a volunteer effort to digitize and archive cultural works, as well as to encourage the creation and distribution of eBooks.[2] It was founded in 1971 by American writer Michael S. Hart...

Cuius regio, eius religio

Historical legal principleThis article's tone or style may not reflect the encyclopedic tone used on Wikipedia. See Wikipedia's guide to writing better articles for suggestions. (February 2024) (Learn how and when to remove this message) Charles V, Holy Roman Emperor and King of Spain, instructed his brother to settle disputes relating to religion and territory at the Diet of Augsburg in 1555. Cuius regio, eius religio (Ecclesiastical Latin: [ˈku.jus ˈre.d͡ʒi.o ˈe.jus reˈli.d͡ʒi.o...

Rostov na Donu

Artikel ini mungkin terdampak dengan peristiwa terkini: Invasi Rusia ke Ukraina 2022. Informasi di halaman ini bisa berubah setiap saat. Rostov na Donu Ростов-на-ДонуKota[1]Views of Rostov-on-Don BenderaLambang kebesaranHimne daerah: tidak ada[2]Peta lokasi Rostov na Donu Rostov na DonuLokasi Rostov na DonuTampilkan peta RusiaRostov na DonuRostov na Donu (Rostov Oblast)Tampilkan peta Rostov OblastKoordinat: 47°13′21″N 39°42′36″E / 47.22250...

نائمة مع الخطر (فيلم 2020)

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مارس 2021) نائمة مع الخطرSleeping with Danger (بالإنجليزية) معلومات عامةالتصنيف فيلم تلفزيوني الصنف الفني إثارةتاريخ الصدور أول أغسطس 2020مدة العرض 87 دقيقةاللغة الأصلية الإنجليز�...

Legno

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Legno (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento botanica è priva o carente di note e riferimenti bibliografici puntuali. Commento: poche note Sebbene vi siano una bibliografia e/o dei collegamenti esterni, manca la contestualizzazione delle fonti con note a piè di pagina o altri riferimenti precisi che indichino puntualmente la provenienza delle informazioni. Puoi migliorare questa voce citando le fonti più precisa...

Palazzo Gonzaga di Vescovato (Portiolo)

Palazzo Gonzaga di VescovatoLocalizzazioneStato Italia LocalitàPortiolo IndirizzoStrada Portiolo, 3,5 Coordinate45°02′50″N 10°51′35″E45°02′50″N, 10°51′35″E Informazioni generaliCondizioniin abbandono CostruzioneXIV-XV secolo Usoresidenziale RealizzazioneProprietarioProprietà privata CommittenteGonzaga di Vescovato Modifica dati su Wikidata · Manuale Palazzo Gonzaga di Vescovato è una corte rurale fortificata di Portiolo, frazione di San Benedetto Po, in provi...

Roman Forum

Ancient Roman centre of Rome, Italy This article is about the ancient centre of Rome. For the type of structure, see Forum (Roman). For examples in other cities, see Roman Forum (disambiguation). Roman ForumForum RomanumSurviving structures: Tabularium, Gemonian stairs, Tarpeian Rock, Temple of Saturn, Temple of Vespasian and Titus, Arch of Septimius Severus, Curia Julia, Rostra, Basilica Aemilia, Forum Main Square, Basilica Iulia, Temple of Caesar, Regia, Temple of Castor and Pollux, Temple ...

مملكة دادان

مملكة لحيان مملكة دادان ولحيان القرن السابع قبل الميلاد – 24 ق.م نظام الحكم ملكي لغات مشتركة الدادانية ملك التاريخ الفترة التاريخية تاريخ قديم التأسيس القرن السابع قبل الميلاد ضمتها الدولة النبطية 24 ق.م تعديل مصدري - تعديل دادان أو ددن كما تعرف باسم مملكة لحيان (بخ...

New York Court of Chancery

The New York Court of Chancery was the highest court in the State of New York from 1701 to 1847.[1] History The New York Court of Chancery was established during the British colonial administration on August 28, 1701, with the colonial governor acting as Chancellor. John Nanfan, the acting governor at the time, was therefore the first Chancellor. After the declaration of independence by the colonies during the American Revolutionary War, the newly established independent government cr...

Sigfred

For other uses, see Siegfried. King of the Danes SigfredSigfred as depicted in 1710King of the DanesReignc. 770–c.798/804Predecessorunknown (Harald Wartooth?)SuccessorGudfredBorn8th centuryDenmarkDiedc.798/804DenmarkDynastySigfredianReligionNorse paganism Sigfred was an eighth century Danish king who is known to have reigned from before 777 to after 798. Fragments of his reign can be traced via Frankish sources. Assistance to Widukind King Sigfred is first mentioned in 777 when the Saxon ch...

Miss Colombia 2007

Beauty pageant Miss Colombia 2007Vargas in 2018DateNovember 12, 2007PresentersAndrea SernaCarlos CaleroCarolina CruzVenueCentro de Convenciones Cartagena de Indias, Cartagena de IndiasBroadcasterRCN TVEntrants24Placements10WinnerTaliana Vargas MagdalenaCongenialityCarolina Gulfo CórdobaBest National CostumeAntonia Moncada AntioquiaPhotogenicGloria Perez Sucre← 20062008 →Miss Colombia 2007, the 73rd Miss Colombia pageant, was held in Cartagena de Indi...

Olga Benário Prestes

German Brazilian Communist militant Olga Benário PrestesOlga Benário in 1928BornOlga Gutmann Benário(1908-02-12)12 February 1908Munich, German EmpireDied23 April 1942(1942-04-23) (aged 34)Bernburg, Nazi GermanySpouseLuís Carlos PrestesChildrenAnita Olga Benário Prestes (Brazilian Portuguese: /ˈɔwgɐ beˈnaɾju prɛstʃis/, 12 February 1908 – 7 April 1942)[1] was a German-Brazilian communist militant executed by Nazi Germany. Biography Olga Benário Prestes during her...

Proskynesis

Expression of respect This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: correct formatting of references. Please help improve this article if you can. (November 2013) (Learn how and when to remove this message) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by ...