У тривимірної геометрії Евкліда, якщо для двох прямих немає такої площині, якій би вони належали, то вони називаються мимобіжними прямими і не мають точок перетину. Якщо прямі знаходяться в одній площині, то є три можливості. Якщо вони збігаються, вони мають нескінченно багато спільних точок (а саме, всі точки на цих прямих). Якщо прямі різні, але мають один і той же нахил, вони паралельні і не мають спільних точок. В іншому випадку вони мають одну точку перетину.
У неевклідової геометрії дві прямі можуть перетинатися в декількох точках і кількість прямих, які не перетинаються з даною прямою (паралельних) може бути більшим за одиницю.
Перетин двох прямих
Необхідною умовою перетину двох прямих є приналежність їх одній площині, тобто ці прямі не повинні бути мимобіжними прямими. Виконання цієї умови еквівалентно виродженості чотиригранника, у якого дві вершини лежать на одній прямій, а дві інші — на іншій (тобто об'єм цього тетраедра дорівнює нулю). Алгебраїчну форму цієї умови можна знайти в статті Мимобіжні прямі § Перевірка на мимобіжність.
Якщо задані по дві точки на кожній прямій.
Розглянемо перетин двох прямих та на площині, де пряма визначена двома різними точками та , а пряма — різними точками та [1].
Точку перетину прямих та можна знайти за допомогою визначників
Визначники можна переписати у вигляді:
Зауважимо, що знаходиться точка перетину прямих, а не відрізків між точками, і, тому вона може лежати поза відрізками. Якщо шукати рішення в термінах кривих Безьє першого порядку, то можна перевірити параметри цих кривих 0.0 ≤ t ≤ 1.0 та 0.0 ≤ u ≤ 1.0 (t та u — параметри)[2].
Якщо дві прямі є паралельними або збігаються, тоді знаменник дорівнює нулю:
У випадку коли прямі майже паралельні, при обчисленні на комп'ютері можуть виникнути числові складнощі, оскільки знаменник буде занадто близьким до нуля, й розпізнавання такого випадку може потребувати відповідного тесту на «невизначеність» для програми. Більш стійке і загальне рішення може бути отримано при обертанні відрізків таким чином, що один з них стане горизонтальним, а тоді параметричне рішення другої прямої легко отримати. При роз'вязанні необхідно уважно розглянути окремі випадки розташування прямих та відрізків, такі як паралельність чи збіг прямих, можливе накладення відрізків.
Якщо задано рівняння прямих
Координати і точки перетину двох невертикальних прямих можна легко знайти за допомогою наступних підставлень і перетворень та , де і — кутові коефіцієнти прямих, а та — координати перетину прямих з віссю Oy. У точці перетину прямих (якщо вони перетинаються), обидві координати будуть збігатися, звідки отримуємо рівність:
Ми можемо перетворити це рівняння з метою виділення :
,
тоді:
.
Для знаходження підставляємо у будь-яке з двох рівнянь. Нехай у перше:
.
Звідси отримуємо точку перетину прямих:
Зауважимо, що при дві прямі паралельні. Якщо при цьому , прямі різні та не мають перетинів, в іншому ж випадку прямі збігаються.
Використання однорідних координат
При використанні однорідних координат точка перетину двох явно заданих прямих може бути знайдена досить просто. У 2-вимірному просторі будь-яка точка може бути визначена як проєкція 3-мірної точки, заданої трійкою . Відображення 3-мірних координат у 2-мірні відбувається за формулою . Просто перетворити координати точок 2-вимірному простору в однорідні координати, прирівнявши третю координату одиниці — .
Припустимо, що ми хочемо знайти перетин двох нескінченних прямих у 2-вимірному просторі, які задані формулами та . Можемо записати ці дві прямі в координатах прямої[en] як та .
Перетин двох прямих тоді просто задається формулами[3]:
Якщо , то прямі не перетинаються.
Перетин n прямих
Існування та вираз для перетину
У двомірному просторі
У двомірному просторі, перетин в одній точці трьох і більше прямих майже напевнонеможливий. Для того, щоб визначити, чи перетинаються прямі в одній точці, і, якщо перетинаються, для пошуку точки перетину, запишемо i-е рівняння прямої (i = 1, …, n), як і скомпонуємо ці рівняння в матричному вигляді
де i-м рядком матриці n × 2 буде , відповідно w — це 2 × 1 вектор (x, y)T, а i-й елемент вектора-стовпця b дорівнює bi (i = 1, …, n). Якщо матриця A має незалежні стовпці, її ранг дорівнює 2. Тоді і лише тоді, коли ранг розширеної матриці [A | b ] дорівнює 2, існує рішення матричного рівняння і, таким чином, існує точка перетину n прямих. Точка перетину, якщо вона існує, знаходиться так:
де є псевдообернена матриця до матриці . Як альтернатива, рішення може бути знайдено шляхом спільного розв'язання двох незалежних рівнянь. Але якщо ранг матриці A дорівнює 1, а ранг розширеної матриці дорівнює 2, розв'язків немає. У разі ж, коли ранг розширеної матриці дорівнює 1, всі прямі збігаються.
У тривимірному просторі
Представлений вище підхід поширюється на тривимірний простір. У тривимірному та n-вимірних просторах навіть дві прямі майже напевно не перетинаються. Пари непаралельних прямих, які не перетинаються, називаються перехресними. Але коли перетин існує, його можна знайти наступним чином. У тривимірному просторі пряма представляється перетином двох площин, кожна з яких задається формулою Тоді множина n прямих може бути представлена у вигляді 2n рівнянь від 3-вимірного координатного вектора w = (x, y, z)T:
де A дорівнює 2n × 3 і b дорівнює 2n × 1. Як і раніше, існує єдина точка перетину тоді і тільки тоді, коли A та розширена матриця [A | b ] мають максимальний ранг, якщо перетин існує, то він задається формулою:
Найближча точка перехресних прямих
У двох чи більше вимірах зазвичай можна знайти точку, яка є найближчою до двох чи більше прямих у сенсі найменших квадратів.
У двох вимірах
У двовимірному просторі спочатку представляють пряму як пару об'єктів: точку на прямій та одиничний векторнормалі, перпендикулярний до цієї прямої. Тобто, якщо та — точки на прямій 1, то нехай і
,
який є одиничним вектором на прямій, повернутим на 90 градусів.
Зауважимо, що відстань від точки x до прямої задається формулою:
Щоб знайти мінімум, диференціюємо по x і прирівняємо результат до нуля:
тому:
звідки
У тривимірному просторі
Хоча в просторах вище двох нормаль не визначається однозначно, її можна узагальнити на будь-яку розмірність, якщо зауважити, що є просто (симетричною) матрицею усі власні значення якої дорівнюють 1, за винятком нульового власного значення в напрямку вздовж прямої, яка визначає напівнорму на відстані між точкою та іншою точкою, на якій досягається відстань до прямої. У просторі довільної вимірності, якщо це — одиничний вектор уздовж i-ї лінії, тоді
Для того, щоб знайти точку перетину набору прямих, обчислюємо точку з мінімальною відстанню до них. Кожна пряма визначається точкою та вектором одиничної довжини . Квадрат відстані від точки до однієї з прямих обчислюється за теоремою Піфагора:
Де: є проєкція: на -ту пряму. Сума квадратів відстаней до всіх прямих становить:
.
Щоб мінімізувати цей вираз, візьмемо похідну по :
.
В результаті:
,
де — цє одинична матриця. Це матриця , з розв'язком , є псевдообернена матриця до .
↑Antonio, Franklin (1992). Chapter IV.6: Faster Line Segment Intersection. У Kirk, David (ред.). Graphics Gems III. Academic Press, Inc. с. 199—202. ISBN0-12-059756-X.
Grand Prix AustraliaSirkuit Grand Prix MelbourneInformasi lombaJumlah gelaran85Pertama digelar1928Terbanyak menang (pembalap) Lex Davison (4) Michael Schumacher (4)Terbanyak menang (konstruktor) Ferrari (13)Panjang sirkuit5.303 km (3.295 mi)Jarak tempuh307.574 km (191.071 mi)Lap58Balapan terakhir (2023)Pole position Max VerstappenRed Bull Racing-Honda RBPT1:16.732Podium 1. M. VerstappenRed Bull Racing-Honda RBPT2:32:38.371 2. L. HamiltonMercedes+0.179 3. F. AlonsoAston Ma...
Claudio BigagliClaudio Bigagli in Tu mi turbi, 1983Lahir8 Desember 1955 (umur 68)Montale, Tuscany, ItaliaPekerjaanPemeranTahun aktif1976-kini Claudio Bigagli (lahir 8 Desember 1955) adalah seorang pemeran asal Italia. Ia tampil dalam lebih dari 40 film dan acara televisi sejak 1976. Ia tampil dalam Fiorile, yang masuk dalam Festival Film Cannes 1993.[1] Filmografi pilihan The Face with Two Left Feet (1979) The Night of the Shooting Stars (1982) Via degli specchi (1982) Tu m...
A Series of Unfortunate Events PengarangLemony Snicket (pseudonim digunakan oleh) Daniel HandlerIlustratorBrett HelquistPerancang sampulBrett HelquistNegaraAmerika SerikatBahasaBahasa InggrisGenreBuku anak, komedi hitam, gothik, fiksi absurdisPenerbitHarperCollinsTgl. terbit (bhs. Inggris)30 September 1999 – 13 Oktober 2006 Halaman ini berisi artikel tentang serial buku. Untuk film, lihat Lemony Snicket's A Series of Unfortunate Events. Untuk permainan video, lihat Lemon...
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Juni 2012. Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Pe...
Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Rio de Janeiro (disambigua). Rio de JaneirocomuneMunicípio do Rio de Janeiro Rio de Janeiro – Veduta LocalizzazioneStato Brasile Stato federato Rio de Janeiro MesoregioneRio de Janeiro MicroregioneRio de Janeiro AmministrazioneSindacoEduardo Paes (PSD) dal 1º gennaio 2021 Data di istituzione1º marzo 1565 TerritorioCoordinate22°54′25″S 43°11′17″W / 22.906944°S 43.188056°W-22.9069...
Wi-fi network provided by local government Computer network typesby scale Nanoscale Near-field (NFC) Body Personal (PAN) Near-me Local (LAN) Storage (SAN) Wireless (WLAN) Virtual (VLAN) Home (HAN) Building Campus (CAN) Backbone Metropolitan (MAN) Municipal wireless (MWN) Wide (WAN) Cloud Internet Interplanetary Internet vte LinkNYC was announced by New York City Mayor Bill de Blasio in 2014 and will eventually replace the city's network of payphones. A municipal wireless network is a citywide...
Women's outer garment, popular in 19th century A visite in silk trimmed with beaver fur, 1885 A visite is a specific type of woman's outer garment similar to a mantle or wrap. It was particularly popular in the late 19th century, being specifically designed to accommodate the then fashionable bustle.[1] The visite replaced the huge shawls that had previously been worn over large crinoline skirts, combining shawl and coat elements, and was even on occasion made using shawls that were v...
Deschampsia flexuosa Avenella flexuosa Canche flexueuseClassification GRIN Règne Plantae Famille Poaceae Sous-famille Pooideae Tribu Poeae Sous-tribu Airinae Genre Avenella EspèceAvenella flexuosa(L.) Drejer, 1838[1] Synonymes Aira flexuosa L., 1753 (basionyme) Deschampsia flexuosa (L.) Trin., 1836 etc. Avenella flexuosa, en français Canche flexueuse, Canche des montagnes, Deschampsie flexueuse[2] ou Foin tortueux[3], est une espèce de plantes à fleurs de la famille des Poaceae et du gen...
Questa voce sull'argomento centri abitati del Mississippi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Ocean Springscity(EN) Ocean Springs, Mississippi Ocean Springs – Veduta LocalizzazioneStato Stati Uniti Stato federato Mississippi ConteaJackson AmministrazioneSindacoConnie Moran TerritorioCoordinate30°24′34.99″N 88°47′49.99″W30°24′34.99″N, 88°47′49.99″W (Ocean Springs) Altitudine7[1] m s.l.m. S...
H.M.A. TihamiLahir15 Agustus 1951 (umur 72)Serang, Banten, IndonesiaPekerjaanDosenSuami/istriFauziah Sy. Anasi Prof. Dr. HMA. Tihami, MA adalah Rektor IAIN Sultan Maulana Hasanuddin Banten Periode 2004-2010 (lahir 15 Agustus 1951) dari pasangan KH M Sulaiman dan Hj Zainab. Pernikahannya dengan Fauziah Syarbini Anasi dikaruniai anak: Helmy Faizi Bahrul Ulumi, Ivo Fauziastuti Tihamayati, Via Tuhamah Fauziastuti dan Ovi Fauzia Tihamayati. Pendidikan Formal SDN Pontang II, Pontang (1965) Ma...
Portuguese footballer In this Portuguese name, the first or maternal family name is Silva and the second or paternal family name is Coentrão. Fábio Coentrão Coentrão with Real Madrid in 2012Personal informationFull name Fábio Alexandre da Silva Coentrão[1]Date of birth (1988-03-11) 11 March 1988 (age 36)[1]Place of birth Vila do Conde, Portugal[1]Height 1.78 m (5 ft 10 in)[1]Position(s) Left-back, wingerYouth career1999–2006 Rio ...
Complex of several Hindu temples in Punjab, Pakistan Katas Raj Templesکٹاس راج مندرकटासराजThe temples surround a pond regarded as sacred by HindusReligionAffiliationHinduismDistrictChakwal districtDeityShivaLocationLocationChoa SaidanshahStatePunjabCountryPakistan Shown within Punjab, PakistanShow map of Punjab, PakistanKatas Raj Temples (Pakistan)Show map of PakistanGeographic coordinates32°43′26.4″N 72°57′05.9″E / 32.724000°N 72.951639°E&...
Public research university in Amherst, Massachusetts, US Not to be confused with Amherst College. University of Massachusetts AmherstLatin: Universitas MassachusettensisFormer namesMassachusetts Agricultural College (1863–1931)[1]Massachusetts State College (1931–1947)MottoEnse petit placidam sub libertate quietem (Latin)Motto in EnglishBy the sword we seek peace, but peace only under liberty.TypePublic land-grant research universityEstablishedApril 29, 1863; 161...
This article is part of a series onTaxation in the United States Federal taxation Alternative minimum tax Capital gains tax Corporate tax Estate tax Excise tax Gift tax Generation-skipping transfer tax Income tax Payroll tax Internal Revenue Service (IRS) Internal Revenue Code (IRC) IRS tax forms Revenue by state History Constitutional authority Taxpayer standing Court Protest Evasion Resistance State and local taxation State income tax Property tax Sales tax State and local tax deduction Us...
On the existence of a tangent to an arc parallel to the line through its endpoints For the theorem in harmonic function theory, see Harmonic function § The mean value property. For any function that is continuous on [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} and differentiable on ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} there exists some c {\displaystyle c} in the interval ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} such that the secant joining the endpoints of the interval [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} is parallel ...
Bài viết hoặc đề mục này có chứa thông tin về một công trình hiện đang trong quá trình thi công.Nó có thể chứa thông tin có tính chất dự đoán, và nội dung có thể thay đổi lớn và thường xuyên khi quá trình xây dựng tiếp diễn và xuất hiện thông tin mới. Đừng nhầm lẫn với Đường cao tốc Bắc – Nam phía Đông. Đường cao tốcBắc – Nam phía TâyBảng kí hiệu đường cao tốc Bắc – Nam ...