Перетворення Фур'є
Коротка назва	FT
Названо на честь	Жан Батист Жозеф Фур'є
Формула	${\displaystyle \left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t}$[1]
Позначення у формулі	${\displaystyle {\mathcal {F}}f}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \omega }$ і ${\displaystyle \mathrm {e} }$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Обернений елемент	inverse Fourier transformd
Перетворення Фур'є у Вікісховищі

Перетворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (як-от мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Перетворення Фур'є функції ${\displaystyle f(t)\,}$ математично визначається як комплекснозначна функція ${\displaystyle F(\omega )\,}$, яка задається інтегралом^[1]

${\displaystyle F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}$

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega =f(t)}$

Перетворення Фур'є бере початок із вивчення рядів Фур'є. При вивченні рядів Фур'є складні, але періодичні функції записуються у формі суми простих хвиль, що математично задаються функціями синусів і косинусів. Перетворення Фур'є є продовженням рядів Фур'є для випадку коли період представленої функції подовжений і може наближатися до нескінченності^[2].

Завдяки властивостям синуса і косинуса, за допомогою інтегралу можна отримати амплітуду кожної хвилі ряду Фур'є. У багатьох випадках бажано використовувати формулу Ейлера, яка визначає, що e^2πiθ = cos(2πθ) + i sin(2πθ), із чого випливає, що можна задати ряд Фур'є через елементи базових хвиль e^2πiθ. Це дає змогу спростити вираз при розрахунку багатьох формул.

Представлення синусів і косинусів у вигляді комплексних експонент приводить до того, що коефіцієнти Фур'є є комплексними значеннями. Зазвичай це комплексне представлення числа інтерпретують так, що воно описує значення як амплітуду (або розмір) хвилі, що є складовою заданої функції, і фазу (або початковий кут) хвилі. Ці комплексні експоненти іноді містять від'ємні «частоти». Якщо θ вимірюється в секундах, тоді хвилі e^2πiθ і e^−2πiθ обидві мають один повний цикл довжиною в секунду, але вони задають різні частоти в перетворенні Фур'є. Таким чином, частота більше не задає кількість періодів на одиницю часу, але досі є тісно пов'язаною.

Існує тісний зв'язок між визначенням рядів Фур'є і перетворення Фур'є для функцій f, що приймають нульове значення за межами інтервалу. Для таких функцій, ми можемо розрахувати ряд Фур'є на будь-якому інтервалі, що містить точки де f не є нульовою. Перетворення Фур'є також визначене для таких функцій. Зі збільшенням довжини інтервалу, на якому ми розраховуємо ряд Фур'є, коефіцієнти ряду Фур'є починають бути схожими на перетворення Фур'є, а сума ряду Фур'є для f починає бути схожою на обернене перетворення Фур'є. Аби пояснити це, припустимо, що T є достатньо великим, таким, що інтервал [−T/2, T/2] містить інтервал, у якому f не є тотожно нульовою. Тоді n-й коефіцієнт ряду c_n задається як:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\,e^{-2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}\,dx.}$

Порівнявши це із визначенням перетворення Фур'є, отримаємо що

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}{\hat {f}}\left({\frac {n}{T}}\right)}$

оскільки f (x) є нульовою за межами [−T/2, T/2]. Таким чином, коефіцієнти Фур'є є лише значеннями перетворення Фур'є, що задані для сітки шириною в 1/T, помножені на ширину сітки 1/T.

При певних умовах, ряд Фур'є для f буде дорівнювати функції f. Іншими словами, f можна записати як:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i\left({\frac {n}{T}}\right)x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi _{n})\ e^{2\pi i\xi _{n}x}\Delta \xi ,}$

де остання сума, є першою сумою, яку переписано використовуючи визначення ξ_n = n/T, і Δξ = n + 1/T − n/T = 1/T.

Таким чином, друга сума є сумою Рімана, і тому задавши T → ∞ вона збігатиметься до інтеграла, який відповідає оберненому перетворенню Фур'є заданого в розділі визначення. При певних умовах цей аргумент може бути точним^[3].

При вивченні рядів Фур'є числа c_n можна розглядати як «кількість» присутності хвилі у ряді Фур'є для f. Аналогічно, як видно з описаного вище, перетворення Фур'є можна уявити як функцію, що вимірює, наскільки чітко окрема частота присутня в нашій функції f, і можна поєднати ці хвилі за допомогою інтегралу (або «неперервної суми») аби відтворити оригінальну функцію.

Якщо задані інтегровні функції ${\displaystyle f(t)}$, ${\displaystyle g(t)}$ та ${\displaystyle h(t)}$ та їхні відповідні перетворення Фур'є ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}$, ${\displaystyle {\hat {g}}(\omega )}$ та ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )}$, тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність

Для довільних комплексних чисел ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$, якщо ${\displaystyle h(t)=af(t)+bg(t)}$, тоді   ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )=a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega ).}$

Трансляція

Для довільного дійсного числа ${\displaystyle t_{0}}$, якщо ${\displaystyle h(t)=f(t-t0)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )=e^{-i\omega t_{0}}{\hat {f}}(\omega ).}$

Модуляція

Для довільного дійсного числа ${\displaystyle \omega _{0}}$, якщо ${\displaystyle h(t)=e^{\omega _{0}t}f(t)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\omega )={\hat {f}}(\omega -\omega _{0})}$.

Масштабування

Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо ${\displaystyle h(x)=f(ax)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)}$.     Випадок a = −1 призводить до властивості «обернення часу», згідно з якою: якщо ${\displaystyle h(x)=f(-x)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(-\xi )}$.

Спряження

Якщо ${\displaystyle h(x)={\overline {f(x)}}}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}.}$

Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце «умова дійсності»   ${\displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}.}$

Згортка

Якщо ${\displaystyle h(x)=\left(f*g\right)(x)}$, тоді  ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$

Цей розділ потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення його перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цей розділ, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (вересень 2016)

Перетворення Фур'є можна визначити для широкого класу узагальнених функцій. Як основний простір вибирають простір гладких швидкоспадних функцій (простір Шварца):

${\displaystyle S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.}$

Цей простір є інваріантним відносно перетворення Фур'є.

Позначимо через ${\displaystyle S^{*}(\mathbb {R} )}$ спряжений простір до ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$. Цей підпростір простору всіх узагальнених функцій називається простором узагальнених функцій повільного зростання. Для довільної функції ${\displaystyle f\in S^{*}(\mathbb {R} )}$ її перетворенням Фур'є називається узагальнена функція ${\displaystyle {\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )}$, яка діє на основні функції за правилом

${\displaystyle \langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .}$

Наприклад, обчислимо перетворення Фур'є дельта-функції:

${\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta (\omega ),\;\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot e^{-i\cdot 0\cdot x}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle 1,\;\varphi \right\rangle .}$

Таким чином, перетворенням Фур'є дельта-функції є константа, у цьому випадку ${\displaystyle 1}$.

Перетворення Фур'є може бути означене для довільної кількості змінних (вимірів) ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }})}\,d\mathbf {x} }$

де ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ — ${\displaystyle n}$-вимірні вектори, а ${\displaystyle (\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }})}$ позначає скалярний добуток цих векторів.

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектра неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і, відповідно, SETI@home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу ${\displaystyle f(t)}$ має вигляд

${\displaystyle g(t)=\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau }$,

де ${\displaystyle \alpha (\tau )}$ — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і яке змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

${\displaystyle G(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ^{\prime })e^{i\omega ^{\prime }(t-\tau )}d\omega ^{\prime }d\tau dt}$

Оскільки

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i(\omega ^{\prime }-\omega )t}dt=2\pi \delta (\omega ^{\prime }-\omega )}$,

де ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

${\displaystyle G(\omega )=\mathrm {A} (\omega )F(\omega )\,}$,

де

${\displaystyle \mathrm {A} (\omega )=\int _{0}^{\infty }\alpha (\tau )e^{i\omega \tau }}$.

Важливим висновком із цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи ${\displaystyle \mathrm {A} (\omega )}$.

Цей розділ потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення його перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цей розділ, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (вересень 2016)

У наступній таблиці ${\displaystyle F(\omega )}$ и ${\displaystyle G(\omega )}$ позначають перетворення Фур'є функцій ${\displaystyle f(t)}$ і ${\displaystyle g(t)}$, відповідно. Функцій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ повинні бути інтегровними або узагальненими функціями.

Як множник при інтегралі у формулі для прямого та зворотного перетворення Фур'є тут вибрано ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$.

	Функція	Образ	Примітки
1	${\displaystyle af(t)+bg(t)\,}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )\,}$	Лінійність
2	${\displaystyle f(t-a)\,}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )\,}$	Запізнення
3	${\displaystyle e^{iat}f(t)\,}$	${\displaystyle F(\omega -a)\,}$	Частотний зсув
4	${\displaystyle f(at)\,}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\,}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )\,}$	Перетворення Фур'є похідної
6	${\displaystyle t^{n}f(t)\,}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,}$
7	${\displaystyle (f*g)(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,}$	Перетворення згортки
8	${\displaystyle f(t)g(t)\,}$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	Зворотнє до 7
9	${\displaystyle \delta (t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	Перетворення дельта-функції Дірака
10	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )\,}$	Зворотнє до 9
11	${\displaystyle t^{n}\,}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,}$	Для ${\displaystyle n}$-ї узагальненої похідної дельта-функції
12	${\displaystyle e^{iat}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)\,}$	Наслідок з 3 і 10
13	${\displaystyle \cos(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,}$
14	${\displaystyle \sin(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}\,}$
15	${\displaystyle \exp(-at^{2})\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)\,}$	Образ функції Гауса ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$ збігається з оригіналом (функція належить до простору Шварца)
16	${\displaystyle W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)\,}$	${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)\,}$	фільтр низьких частот, прямокутна функція
17	${\displaystyle {\frac {1}{t}}\,}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$	Тут ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )\,}$ — функція знаку.
18	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}\,}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$
19	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}\,}$
20	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\theta (t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )\,}$	Тут ${\displaystyle \theta (t)\,}$ — Функція Гевісайда.

• Ряд Фур'є
• Змінні Фур'є
• Перетворення Лапласа
• Двостороннє перетворення Лапласа
• Швидке перетворення Фур'є
• Дискретне перетворення Фур'є
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа Фур'є
• Спряжені змінні

↑  1. Існують також інші конвенції щодо означення перетворення Фур'є, в яких замість циклічної частоти ${\displaystyle \omega }$ використовують лінійну частоту ${\displaystyle \nu }$, розподіляють множник ${\displaystyle 1/2\pi }$ порівно між прямим та оберненим перетворенням тощо. Усі конвенції до певної міри еквіваленті, якщо їх застосовувати послідовно.

• До методу розділення змінних Фур'є: Навч.-метод. посіб. / О. С. Гаврилів. — Л. : Вид. Тараса Сороки, 2009. — 32 c.
• Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та застосування: навч.-метод. посіб. [для студентів та аспірантів мех.-мат. і природн. спец. ВНЗ] / Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський, О. М. М'яус ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. — Львів: ЛНУ, 2014. — 152 с. — Бібліогр.: с. 147—152 (90 назв).
• Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill.

• Функції комплексної змінної. Перетворення Фур'є та Лапласа : Навч. посіб. для студ. техн. спец. вищ. закл. освіти / Я. І. Дасюк, В. С. Ільків, П. І. Каленюк, П. П. Костробій, З. М. Нитребич; Ін-т змісту і методів навчання. — Л., 1999. — 271 c. — (Математика для інженерів). — Бібліогр.: 20 назв.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

• FFT in Python
• Fourier Series Applet
• An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained (англ.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.