Магнітні поверхневі рівні — квантові рівні енергії електронів, що здійснюють періодичний рух уздовж поверхні металу, паралельно до якої прикладено зовнішнє магнітне поле. Вперше виявлено та пояснено М. С. Хайкіним у 1960 році.^[1][2] Наукове відкриття, зареєстроване у Державному реєстрі відкриттів СРСР .^[3]

При дзеркальному відбитті носіїв заряду поверхнею в паралельному магнітному полі ${\displaystyle H}$ електрони рухаються по траєкторіях, що «скачуть», для яких кожна наступна ділянка відтворює попередню (див. Рис.). Рух електрона вздовж нормалі до поверхні (вісь ${\displaystyle y}$) є періодичним, і, відповідно до загальних принципів квантової механіки, квантується. Квазикласичні рівні енергії можуть бути знайдені з умови квазікласичного квантування Ліфшиця — Онсагера^[4] площі, яку обмежує траєкторія електрона в імпульсному просторі (Рис.):

${\displaystyle {{S}_{n}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left(n+\gamma \right),\quad \quad (1)}$

де ${\displaystyle n\gg 1}$ — ціле позитивне число, ${\displaystyle e}$ — абсолютна величина заряду електрона, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла, ${\displaystyle \left|\gamma \right|<1}$ . Розрахунок виходячи з рівняння Шредінгера (див. нижче) показує, що ${\displaystyle \gamma \approx -1/4}$. У металах найбільшу ймовірність дзеркального відбиття від границі мають електрони, що стикаються з нею під малими кутами, ${\displaystyle \varphi \ll 1}$, оскільки для таких електронів дебройлівська довжина хвилі, пов'язана з рухом вздовж нормалі до поверхні, менша за розмір поверхневих неоднорідностей. У цьому випадку площа сегменту ${\displaystyle S}$ кола з ларморівським радіусом ${\displaystyle {{r}_{H}}=cp/eH}$ (${\displaystyle p}$ — радіус кривини орбіти в імпульсному просторі) та його висота ${\displaystyle h}$ дорівнюють:

${\displaystyle S\approx {\frac {2}{3}}r_{H}^{2}{{\varphi }^{3}};\quad h\approx {\frac {{{r}_{H}}{{\varphi }^{2}}}{2}}.\quad \quad (2)}$

Використовуючи формули (1), (2), отримуємо:

${\displaystyle {{S}_{n}}={\frac {4}{3}}{{\left({\frac {eH}{c}}\right)}^{2}}{{\left(2h_{n}^{3}{{r}_{H}}\right)}^{1/2}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left(n-{\frac {1}{4}}\right),\quad \quad (3)}$

де ${\displaystyle h_{n}}$ — дискретні значення висоти сегмента. Оскільки при ${\displaystyle y\ll r_{H}}$ швидкість електрона ${\displaystyle \mathbf {v} }$ спрямована майже паралельно поверхні, ${\displaystyle {{v}_{x}}\gg v_{y}}$, то приблизно можна вважати, що сила Лоренца спрямована за нормаллю і дорівнює ${\displaystyle {{F}_{y}}=(e/c)v_{x}H}$, а кожному значенню ${\displaystyle h_{n}}$, яке слід визначити з рівняння (3), відповідає енергія^[5][6]

${\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}={\frac {eHv_{x}{{h}_{n}}}{c}}={\frac {v_{x}}{2}}{{\left[{\frac {3\pi e\hbar H}{c{\sqrt {p}}}}\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]}^{2/3}}.\quad \quad (4)}$

Розглянемо метал, з довільним законом дисперсії електронів провідності ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)}$. Магнітні поверхневі рівні енергії ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ та хвильові функції ${\displaystyle \psi \left(x,y,z\right)}$ можуть бути знайдені з рівняння Шредінгера

${\displaystyle \varepsilon \left(\mathbf {\hat {p}} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \left(x,y,z\right)=\varepsilon \psi \left(x,y,z\right)\quad \quad (5)}$

з граничними умовами

${\displaystyle \psi \left(x,0,z\right)=0;\quad \quad \psi \left(x,y\to \infty ,z\right)\to 0,\quad \quad (6)}$

де ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} ={\frac {i}{\hbar }}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$ — оператор квазіімпульсу. Магнітне поле спрямоване вздовж осі ${\displaystyle z}$ . Виберемо векторний потенціал наступним чином ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(-Hy,0,0\right)}$. При малих відстанях ${\displaystyle y}$ від поверхні ${\displaystyle y=0}$ розкладання гамільтоніана в точці ${\displaystyle p_{y0}}$, поблизу якої нормальна компонента швидкості ${\displaystyle {{v}_{y0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{y0}}=0}$, має вигляд:

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon \left({{\hat {p}}_{x}},{{p}_{y0}},{{\hat {p}}_{z}}\right)+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial {{\hat {p}}_{x}}}}{\frac {eHy}{c}}-{\frac {{\hbar }^{2}}{2}}{\frac {{{\partial }^{2}}\varepsilon }{\partial p_{y0}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{y}^{2}}}}.\quad \quad (7)}$

Хвильова функція визначає вільний рух електрона у площині ${\displaystyle xz}$ та обмежений квантований рух уздовж осі ${\displaystyle y}$ :

${\displaystyle \psi \left(x,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(y\right)\exp \left({\frac {i}{\hbar }}{{p}_{x}}x+{\frac {i}{\hbar }}{{p}_{z}}z\right).\quad \quad (8)}$

Підставляння хвильової функції (8) у рівняння Шредінгера (5) з гамільтоніаном (7) призводить до рівняння для функції ${\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left(y\right)}$, що збігається з рівнянням Шредінгера для частинки в трикутній квантовій ямі (рівняння для функцій Ейрі). Вирішення цього рівняння, що задовольняє граничній умові ${\displaystyle \varphi \left(y\to \infty \right)\to 0}$, виражається через функцію Ейрі 1-го роду, ${\displaystyle Ai(y)}$ :

${\displaystyle \varphi \left(y\right)={{C}_{n}}Ai\left(\alpha y-\alpha {{y}_{\varepsilon }}\right),}$

де ${\displaystyle C_{n}}$ — нормувальна константа,

${\displaystyle \alpha ={{\left(2{{v}_{xo}}{{m}_{yy0}}{\frac {eH}{c{{\hbar }^{2}}}}\right)}^{1/3}};\quad {{y}_{\varepsilon }}={\frac {\varepsilon -\varepsilon \left({{p}_{x}},{{p}_{y0}},{{p}_{z}}\right)}{eH/c}}.}$

Тут ${\displaystyle {{v}_{x0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{x}}}$ — ${\displaystyle x}$ — компонента швидкості електрона, ${\displaystyle {m_{yy0}^{-1}}={{\partial }^{2}}\varepsilon /\partial p_{y0}^{2}}$ — відповідна компонента тензора зворотних ефективних мас при ${\displaystyle p_{y}=p_{y0}}$. Квантові рівні енергії можуть бути знайдені за допомогою граничної умови ${\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left(0\right)=0}$, що призводить до вимоги ${\displaystyle \alpha {{y}_{\varepsilon }}={{a}_{n}}}$, де ${\displaystyle -a_{n}}$ — нулі функції Ейрі, ${\displaystyle Ai(-a_{n})=0}$ . В результаті отримуємо:

${\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}={\frac {{{\hbar }^{2}}{{\alpha }^{2}}{{a}_{n}}}{2{{m}_{yy0}}}}={\frac {{a}_{n}}{2}}{{\left({\frac {2\hbar eH{{v}_{x0}}}{c{\sqrt {{m}_{yy0}}}}}\right)}^{2/3}}.\quad \quad (9)}$

При досить великих значеннях ${\displaystyle n}$ справедлива наступна асимптотична формула : ${\displaystyle {{a}_{n}}\simeq {{\left[(3\pi /2)\left(n-1/4\right)\right]}^{2/3}}}$^[7][8] .

Магнітні поверхневі рівні проявляють себе, наприклад, у вигляді резонансів у поверхневому опорі металу, що вимірюється на надвисоких частотах ${\displaystyle \omega }$ залежно від величини магнітного поля, спрямованого вздовж поверхні. Частоти резонансів задовольняють умові

${\displaystyle \omega ={{\omega }_{nm}}={\frac {{{\varepsilon }_{n}}-{{\varepsilon }_{m}}}{\hbar }},}$

де рівні енергії ${\displaystyle {{\varepsilon }_{n\left(m\right)}}}$ визначаються формулою (9), в якій значення швидкість та ефективну масу слід взяти при значенні енергії, рівному енергії Фермі, а проєкцію імпульсу на напрямок магнітного поля, ${\displaystyle p_{z}}$, слід визначити з умови екстремуму ${\displaystyle \partial {{\omega }_{nm}}/\partial {{p}_{z}}=0}$. Інтервал полів, у якому спостерігається резонансний ефект, становить від сотих часток до одиниць ерстеда при частоті близько 10 ГГц.^[1]