Займатися боксом почав у 1945 році. Вважався найсильнішим боксером в середній вазі в період 1948-1964 рр.. Завоював три золоті Олімпійські медалі в 1948 році в Лондоні, в 1952 році в Гельсінкі, в 1956 році в Мельбурні.
У 1956 році перейшов у професіонали, ставши першим професіональним боксером з соціалістичних країн. На новому терені він став відомим через п'ять років, після перемоги над американцем Ральфом Джонсоном[en] на прізвисько «Тигр». На той момент в активі Джонса було 87 боїв, причому в 14 з них він бився проти чемпіонів світу. Угорець тричі відправляв американця на настил рингу, перемігши в кінцевому підсумку за очками. Але перемога була не простою. Пізніше Папп зізнається, що за всю свою кар'єру йому найбільше дісталося від «Тигра». 16 травня1962 року, нокаутувавши своїм коронним лівим хукомданцяКріса Крістенсена[en], вперше став чемпіоном Європи серед професіоналів. Потім він 6 разів успішно відстоював цей титул.
У 1965 році угорська влада скасували свій дозвіл для Ласло займатися професійним боксом, і шанс стати чемпіоном світу виявився для нього втраченим. Свій останній бій як профі Папп провів з Міком Лейхі, який вміло провів усі 15 раундів, хоча в четвертому й побував на помості. За цей бій у листопаді 1964 року журнал «The Ring» визнав Ласло Паппа «бійцем місяця». На професійному рингу провів 29 боїв, здобув 27 перемог (2 нічиї), з яких 15 перемог здобув нокаутом.
На матчі між збірними Угорщини та Австрії в 1947 році Ласло Паппу довелося двічі нокаутувати свого супротивника Кашпарека. В кінці першого раунду після його гака лівою рефері відкрив рахунок. Кашпарек піднявся за рахунку «десять», і суддя зупинив бій. Публіка запротестувала проти такого рішення. Кашпарек і його тренер також були проти. Бій був продовжений. Незабаром Ласло послав супротивника удруге на настил рингу, і цього разу той вже піднятися не зміг.
Ласло Папп знявся у двох фільмах: «Важкі рукавички» (1957) та «Лев готується до стрибку» (1968).[1]