Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення. У цій статті відсутній вступний розділ, що має містити визначення предмета і стислий огляд найважливіших аспектів статті. Ви можете допомогти проєкту, написавши преамбулу. (11 січня 2025) Ця стаття містить перелік джерел, але походження окремих тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, додайте виноски з посиланнями на відповідні джерела до тексту статті. (11 січня 2025) Ця стаття не має інтервікі-посилань. Ви можете допомогти проєкту, знайшовши та додавши посилання на назву цієї сторінки у відповідному їй елементі Вікіданих, або, якщо Ви впевнені що такий ще не існує, то можете сміливо створювати власний елемент поточної сторінки та заповнити в ньому відповідні властивості Вікіданих. (11 січня 2025) Ця стаття недостатньо чи зовсім не категоризована, або категорії, до яких вона належить, не існують. Будь ласка, допоможіть додати належні категорії, аби цю статтю можна було категоризувати із суміжними сторінками. (11 січня 2025) (Дізнайтеся, як і коли вилучати це шаблонне повідомлення[en])

Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб)^[1] — це математичний вираз виду

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},...]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+...}}}}}}}$

де a₀ є ціле число, а всі інші a_n є натуральними числами.

У 1942 році у своїй роботі «Complement a la notice publiee en 1934 sur les travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Hermann, Paris, 1942» французький математик Арно Данжуа встановив, що кожне дійсне число x розкладається у скінченний або нескінченний ланцюговий дріб, елементами якого є лише 0 та 1, тобто у дріб виду:

${\displaystyle x=[d_{0};d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{n},...],d_{j}\in {\{0;1\}}}$.

Даний вираз називають канонічним ланцюговим дробом, або ланцюговим дробом Данжуа.

На основі розкладу числа в ланцюговий дріб Данжуа була створена тополого-метрична теорія зображення чисел дробами Данжуа, так званого ${\displaystyle D_{2}}$-зображення.

Нехай ${\displaystyle A={\{0;1\}}}$ – двосимвольний алфавіт, ${\displaystyle L=A\times A\times ...}$ — простір послідовностей елементів алфавіту. Покладемо ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\equiv \infty ,{\frac {1}{\infty }}\equiv 0}$.

Для довільного числа ${\displaystyle x\in (0;1]}$ існує набір ${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{n})}$ або послідовність ${\displaystyle (d_{n})\subset L}$ така, що:

${\displaystyle x={\frac {1}{d_{1}+{\tfrac {1}{d_{2}+{\tfrac {1}{d_{3}+...}}}}}}\equiv [0;d_{1},d_{2},d_{3},...]_{2}^{D}}$,

причому ${\displaystyle d_{1}=1}$, і якщо ${\displaystyle d_{i}=0}$, то ${\displaystyle d_{j}=1}$ при ${\displaystyle j=i+1}$.

Оскільки ${\displaystyle [0;(1,0)]^{D}=0,[0;1,(1,0)]^{D}=1,}$ то усі скінченні дроби Данжуа ${\displaystyle [0;d_{1},d_{2},...,d_{n}]^{D}}$ можна записувати у вигляді ${\displaystyle [0;d_{1},d_{2},...,d_{n},(1,0)]^{D}}$ і вважати, що кожне число з відрізка ${\displaystyle [0;1]}$ має нескінченне ${\displaystyle D_{2}}$-зображення.

Алгоритм розкладу числа у дріб Данжуа має наступний вигляд: Нехай маємо число ${\displaystyle x\in (0;1].}$ Якщо x = 1, то таким розкладом, очевидно, є ${\displaystyle [0;1]^{D}}$.

Якщо ${\displaystyle x\in (0;1)}$, то дріб ${\displaystyle {\frac {1}{x}}>1}$. Дріб ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=1+x_{1}}$. Тоді ${\displaystyle x={\frac {1}{\frac {1}{x}}}={\frac {1}{1+x_{1}}},d_{1}=1.}$

Якщо ${\displaystyle x_{1}>1}$, то ${\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{x_{1}}}}<1}$, тоді ${\displaystyle x={\frac {1}{1+{\frac {1}{\frac {1}{x_{1}}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{0+{\frac {1}{x_{1}}}}}}}}$, ${\displaystyle d_{1}=1,d_{2}=0}$.

Якщо ${\displaystyle x_{1}\in (0;1)}$, то дріб ${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}>1}$. Тоді ${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}=1+x_{2}}$. Звідси маємо: ${\displaystyle x={\frac {1}{1+{\frac {1}{x_{1}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{1+x_{2}}}}},d_{1}=1,d_{2}=1}$.

У кожному з наступних випадків діємо аналогічно, якщо ${\displaystyle x_{i}>1}$, то наступна цифра ${\displaystyle d_{i}=0}$, і наступна ${\displaystyle d_{j}=1}$; якщо ${\displaystyle x_{i}<1}$, то наступна цифра ${\displaystyle d_{i}=1}$, і наступна ${\displaystyle d_{j}=1}$.

За нескінченне число кроків отримаємо що ${\displaystyle x_{k}=1}$, або ж процес буде продовжуватись до нескінченності. Збіжність процесу очевидна.

Приклад. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{1+2}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{\frac {1}{2}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{0+{\frac {1}{2}}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{0+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}=[0;1,0,1,1]^{D}}$.

• Brown G. Metrical theory for farey continued fractions // Osaka J. Math. – 1996. — Vol. 33.no. 2.
• Cusick T. W. Hausdorff dimension of sets of continued fractions // Quan. J. Math. Oxford. — 1990. — Vol. 41, no. 2.
• Dajani K., Kraaikamp C. The mother of all continued fractions // Colloq. Math. — 2000. — 84/85. part 1.
• Denjoy A. Complement a la notice publiee en 1934 sur les travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Hermann, Paris, 1942.
• Iosifescu M., Kraaikamp C. Metric properties of Denjoy's canonical continued fraction expansion // Tokyo J. Math. — 31 (2008). — no. 2.
• Iosifescu M., Kraaikamp C. On Denjoy's canonical continued fraction expansion // Osaka J. Math. — 40 (2003). — no. 1.
• Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Properties of the distribution of the random variable defined by A₂-continued fraction with independent elements // Random Oper. Stochastic Equations, 2009, Vol. 17., no. 1.
• Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Y.V., Lysenko I.M., Ratushniak S. P. Continued ${\displaystyle A_{2}}$-fractions and singular functions. Matematychni Studii, 2022, 58(1), doi: 10.30970/ms.58.1.3-12
• Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Ya.V., Lysenko I.M. Ratushniak S.P. Fractal functions of exponential type that is generated by the ${\displaystyle Q_{2}^{*}}$-representation of argument // Matematychni Studii. V.57, No.2.
• Працьовитий М. В., Скрипник С. О., Чуйков А.С. Ланцюгове ${\displaystyle D_{2}}$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані //  Збірник праць Інституту математики НАН України 2019, т. 16, № 3.