На професійному рівні виступає з 2002 року. Згодом з 2003 по 2005 рік грав у складі команд клубів «Ротор», «Чорноморець» (Новоросійськ) та «Урал». У 2006—2008 роках — гравець грозненського«Терека». У лютому 2009 року між клубами «Терек» і «Крила Рад» (Самара) відбувся трансфер футболіста, Кулик уклав з самарським клубом чотирирічний контракт.
12 січня 2010 було повідомлено, що керівники «Крил» і «Кубані» досягли згоди про перехід Владислава, сума трансферу повинна була скласти 300 000 доларів[2]. 27 січня Палата суперечок Комітету РФС дозволила Кулику перехід у будь-який клуб, а «Крила Рад», відповідно до рішення, повинні були оформити звільнення футболіста[3]. 1 лютого було повідомлено, що Владислав підписав 3-річний контракт з «Кубанню»[4], у складі якої дебютував 10 квітня в виїзному матчі 4-го туру першості проти хабаровського клубу «СКА-Енергія»[5]. Першим голом відзначився 10 травня вже на першій хвилині виїзного матчу 9-го туру першості проти омського«Іртиша»[6], примітно, що м'яч Владислав забив рівно на 13-й секунді матчу, тим самим, цей гол став найшвидшим в історії «Кубані»[7]. Всього в тому сезоні провів 16 матчів, забив 2 м'ячі і став, разом з командою, переможцем Першого дивізіону.
У квітні 2011 року Кулик був визнаний за підсумками голосування уболівальників кращим гравцем «Кубані» другого місяця сезону 2011/12 років[8].
У травні 2013 року підписав чотирирічний контракт з казанським«Рубіном»[9]. Його трансфер обійшовся казанцям в € 3,6 млн.
11 червня 2014 року повернувся до «Кубані» на правах оренди[10][11].
Завершив професійну ігрову кар'єру у клубі «Рубін».
Виступи за збірні
Залучався до складу молодіжної збірної Росії. На молодіжному рівні зіграв у 10 офіційних матчах, забив 1 м'яч.
2011 року захищав кольори другої збірної Росії. У складі цієї команди провів 2 матчі.
.jpg)
