Квадратний корінь матриці

Квадратний корінь матриці — матрична функція, є розширенням поняття квадратного кореня з чисел на матриці.

Матриця $\mathbf {B}$ є коренем матриці $\mathbf {A}$ якщо добуток матриць $\mathbf {BB}$ рівний $\mathbf {A}$ .

Властивості

В загальному випадку квадратна матриця може мати декілька коренів. Наприклад, матриця $\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ має корені $\left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)$ та $\left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)$ .

Одинична матриця ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ має нескінченно багато симетричних раціональних квадратних коренів виду:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),

де $(r,s,t)$ — піфагорові трійки, тобто, натуральні числа для яких виконується $r^{2}+s^{2}=t^{2}$ .

Хоча невід’ємноозначена матриця розміру n×n завжди має рівно один корінь, який називається арифметичним квадратним коренем, всього в неї 2ⁿ коренів.

Розклавши таку матрицю за власними векторами, отримаємо $\mathbf {VDV^{-1}} ,$ де $\mathbf {D}$ — діагональна матриця з власними значеннями $\lambda _{i}\geq 0$ . Отже квадратним коренем буде матриця $\mathbf {VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}} ,$ де $\mathbf {D^{\frac {1}{2}}}$ — діагональна матриця з елементами $\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}$ на діагоналі.

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
Ланкастер П.(інші мови). Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
Р.Хорн(інші мови), Ч.Джонсон(інші мови). Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

В іншому мовному розділі є повніша стаття Square root of a matrix(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.

Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.

Read other articles:

Elisabeta Bostan

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Elisabeta BostanLahir1 Maret 1931 (umur 93)Buhuși, Kabupaten Bacău, Kerajaan RumaniaKebangsaanRumaniaAlmamaterAkademi Seni Rupa Teatrikal dan Sinematografi CaragialePekerjaanSutradara, penulis naskahTahun aktif1956–1991Tempat kerjaAkadem...

Eka Gustiwana

Eka GustiwanaEka Gustiwana pada tahun 2019LahirEka Gustiwana Putra1 Agustus 1989 (umur 34)Jakarta, IndonesiaPekerjaanproduser filmDisjokipenulis laguproduser rekamanaktorkomposer ucapanTahun aktif2008-sekarangSuami/istriYessiel Trivena (m. 2018)Orang tuaPompi Suradi Mansyah (ayah)Sukarni Sofia (ibu) Eka Gustiwana Putra (lahir 1 Agustus 1989) adalah Disjoki, penulis lagu, produser rekaman, produser film dan komposer ucapan Indonesia.[1][2&#...

History of optics

Modern ophthalmic lens making machine Optics began with the development of lenses by the ancient Egyptians and Mesopotamians, followed by theories on light and vision developed by ancient Greek philosophers, and the development of geometrical optics in the Greco-Roman world. The word optics is derived from the Greek term τα ὀπτικά meaning 'appearance, look'.[1] Optics was significantly reformed by the developments in the medieval Islamic world, such as the beginnings of phys...

Cornus florida

Species of flowering plant in the dogwood family Cornaceae Cornus florida Flowering dogwood in Spring Conservation status Least Concern (IUCN 3.1)[1] Secure (NatureServe)[2] Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Clade: Asterids Order: Cornales Family: Cornaceae Genus: Cornus Subgenus: Cornus subg. Cynoxylon Species: C. florida Binomial name Cornus floridaL. Natural range of Cornus florida Synonyms ...

Lembaga Pengelola Dana Pendidikan

Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Lembaga Pengelola Dana Pendidikan – berita ·...

Nina Ostanina

Russian politician You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Russian. (January 2022) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Do not translate text that appea...

The Sandman: Season of Mists

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Sandman: Season of Mists – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2009) (Learn how and wh...

Red Tory

Paternalistic conservatives in Canada and the United Kingdom This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Red Tory – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2022) (Learn how and when to remove this message) Part of the Politics series onToryism Characteristics Agrarianism Classicism Counterr...

Pemilihan Paus 1119

Biara Kluni, tempat pemilihan Paus Pemilihan Paus dari 29 Januari sampai 2 Februari 1119 adalah pemilihan Paus terkecil pada abad ke-12 yang saat ini dianggap sah oleh Gereja Katolik Roma. Paus Gelasius II wafat di Kluni setelah diusir dari Roma oleh Henry V, Kaisar Romawi Suci, sebagai akibat dari Kontroversi Penobatan. Diyakini hanya dua uskup kardinal, empat pendeta kardinal dan empat diaken kardinal yang berpartisipasi dalam pemilihan tersebut. Pemilihan tersebut mengambil tempat di Biara...

Антитринитаризм

ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Раннее христианство Гностическое христианство Вселенские соборы Н...

Antonín Fivébr

Czech footballer (1888–1973) Antonín Fivébr Personal informationDate of birth (1888-11-22)22 November 1888Place of birth Prague, Austria-HungaryDate of death 26 February 1973(1973-02-26) (aged 84)Place of death Prague, CzechoslovakiaPosition(s) MidfielderSenior career*Years Team Apps (Gls)1908–1914 Sparta Prague 1914–1918 Český Lev Plzeň 1919–1920 Sparta Prague 1921–1922 Brescia Managerial career1921–1923 Brescia1923–1927 Valencia1928–1929 Real Oviedo1929–1931 Vale...

Pherosphaera

Genus of plants Pherosphaera Pherosphaera fitzgeraldii Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Gymnospermae Division: Pinophyta Class: Pinopsida Order: Araucariales Family: Podocarpaceae Genus: PherosphaeraW.Archer bis Type species Pherosphaera hookerianaW.Archer bis Synonyms[1] Microstrobos J.Garden & L.A.S.Johnson Pherosphaera is a genus of conifers belonging to the family Podocarpaceae.[2] Its native range is Southeastern Australia.[2&...

Paint It Black

Paint It BlackSingel oleh the Rolling Stonesdari album Aftermath (rilis di AS)Sisi-B Stupid Girl (US) Long, Long While (UK) Dirilis 07 Mei 1966 (1966-05-07) (AS) 13 Mei 1966 (1966-05-13) (UK) Direkam6–9 Maret 1966StudioRCA (Los Angeles)Genre Raga rock psychedelic rock Durasi 3:46 Label Decca (UK) London (AS) PenciptaJagger–RichardsProduserAndrew Loog OldhamKronologi singel Rolling Stones AS 19th Nervous Breakdown (1966) Paint It Black (1966) Mother's Little Helper (1966) Kr...

مجمع اللغة العربية الفلسطيني

مجمع اللغة العربية الفلسطيني مَجْمَع اللُّغَة‏ الْعَرَبِيَّة الفِلسطيني مجمع اللغة العربية الفلسطيني‌ البلد دولة فلسطين المقر الرئيسي القدس، ورام الله تاريخ التأسيس 1994 العضوية اتحاد المجامع اللغوية العلمية العربية اللغات الرسمية العربية المنظ...

Involuntary euthanasia

Illegal practice of intentionally ending a life against the subject's will Part of a series onEuthanasia Types Animal Child Voluntary Non-voluntary Involuntary Mental illness Views Religious Buddhist Catholic Culture of life Euthanasia and the slippery slope Right to die Right to life Groups Compassion & Choices Death with Dignity National Center Dignitas Exit International Final Exit Network Hemlock Society Not Dead Yet Care Not Killing People Jack Kevorkian Philip Nitschke Barbara Coomb...

South of the Border (Ed Sheeran song)

2019 single by Ed Sheeran featuring Camila Cabello and Cardi B South of the BorderSingle by Ed Sheeran featuring Camila Cabello and Cardi Bfrom the album No.6 Collaborations Project LanguageEnglishSpanishReleased12 July 2019 (2019-07-12)RecordedJune 2019GenreLatin pop[1]hip hopR&Bpop rapLength3:24LabelAsylumAtlanticSongwriter(s)Ed SheeranCamila CabelloBelcalis AlmanzarFred GibsonJordan ThorpeSteve MacProducer(s)Ed SheeranFred GibsonSteve MacEd Sheeran singles chrono...

Diary of a Wimpy Kid: Rodrick Rules (film)

Diary of a Wimpy Kid: Rodrick RulesPoster filmSutradaraDavid BowersProduserNina JacobsonBrad SimpsonEthan SmithSkenarioJeff FilgoJeff JudahGabe SachsBerdasarkanDiary of a Wimpy Kid: Rodrick Rulesoleh Jeff KinneyPemeranZachary GordonDevon BostickRachael HarrisRobert CapronSteve ZahnNaratorZachary GordonPenata musikEdward ShearmurSinematograferJack N. GreenPenyuntingTroy TakakiPerusahaanproduksiFox 2000 PicturesColor ForceSachs/Judah ProductionsAmulet BooksDune EntertainmentDistributor20t...

Rosid

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Rosid – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Rosid (juga disebut sebagai Rosidae Cronquist dan Rosids) adalah nama botani pada peringkat subkelas berdasarkan International Code of Botanical Nomen...

Carlo Agostoni

Questa voce sull'argomento schermidori italiani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Carlo Agostoni FainiNazionalità Italia Altezza170 cm Scherma SpecialitàSpada Palmarès Competizione Ori Argenti Bronzi Giochi olimpici 1 2 1 Mondiali 2 1 1 Campionati italiani 3 0 0 Vedi maggiori dettagli Modifica dati su Wikidata · Manuale Carlo Agostoni Faini (Milano, 23 marzo 1909 – Città del Messico, 25 luglio 1972) è stato uno sc...

Эта страна (роман)

Эта страна Автор Фигль-Мигль Жанр Русская литература, отечественный детектив Язык оригинала русский Оригинал издан 2017 Издатель Лимбус Пресс Выпуск 2017 Страниц 376 ISBN 978-5-8370-0812-2 «Эта страна» — роман, детектив писателя современной русской литературы Фигль-Мигль. Ром...

I, (Annoyed Grunt)-bot

George W. Romney

The Squatter's Secret

Corps aérien irlandais

International cricket in 1927

Michael Beauchamp

2014 Copa Perú

Balkans campaign (World War II)