Дигамма-функція
ψ ψ -->
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
В математиці дигамма-функція
ψ ψ -->
(
x
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi (x)}}}
логарифмічну похідну гамма-функції :
ψ ψ -->
(
x
)
=
d
d
x
ln
-->
Γ Γ -->
(
x
)
=
Γ Γ -->
′
(
x
)
Γ Γ -->
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}}
Вона є першою полігамма-функцією , а вищі функції (тригамма-функція і т.д.) виходять з неї диференціюванням.
Дигамма-функція пов'язана з гармонійними числами співвідношенням
ψ ψ -->
(
n
)
=
H
n
− − -->
1
− − -->
γ γ -->
{\displaystyle \displaystyle {\psi (n)=H_{n-1}-\gamma }}
де
H
n
{\displaystyle {\textstyle {H_{n}}}}
n -е гармонійне число, а
γ γ -->
{\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}
постійна Ейлера — Маскероні .
Покажемо звідки береться такий зв'язок. Гамма функція задовольняє рівняння
Γ Γ -->
(
z
+
1
)
=
z
Γ Γ -->
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}
Візьмемо похідну по z :
Γ Γ -->
′
(
z
+
1
)
=
z
Γ Γ -->
′
(
z
)
+
Γ Γ -->
(
z
)
{\displaystyle \Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,}
Поділимо на Γ(z + 1) або ж еквівалентно на z Γ(z )
Γ Γ -->
′
(
z
+
1
)
Γ Γ -->
(
z
+
1
)
=
Γ Γ -->
′
(
z
)
Γ Γ -->
(
z
)
+
1
z
{\displaystyle {\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}}
або:
ψ ψ -->
(
z
+
1
)
=
ψ ψ -->
(
z
)
+
1
z
{\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}
Оскільки гармонічні числа визначені для додатніх цілих числах n за формулою
H
n
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
1
k
,
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}
отже, дигамма функція пов'язана з ними формулою
ψ ψ -->
(
n
)
=
H
n
− − -->
1
− − -->
γ γ -->
,
{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}
де H 0 = 0,γ — стала Ейлера — Маскероні . Для напів цілих чисел дигамма функція набуває вигляду
ψ ψ -->
(
n
+
1
2
)
=
− − -->
γ γ -->
− − -->
2
ln
-->
2
+
∑ ∑ -->
k
=
1
n
2
2
k
− − -->
1
.
{\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}
Формула доповнення
ψ ψ -->
(
1
− − -->
x
)
− − -->
ψ ψ -->
(
x
)
=
π π -->
cot
-->
(
π π -->
x
)
{\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot(\pi x)}}
Рекурентні співвідношення
ψ ψ -->
(
x
+
1
)
=
ψ ψ -->
(
x
)
+
1
x
{\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}
Розкладання на нескінченну суму
ψ ψ -->
(
x
)
=
ln
-->
(
x
)
− − -->
1
2
x
+
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
ζ ζ -->
(
1
− − -->
2
n
)
x
2
n
{\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}}
де
ζ ζ -->
(
x
)
{\displaystyle \zeta (x)}
Дзета-функція Рімана . Логарифмічний розклад
ψ ψ -->
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
1
n
+
1
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
− − -->
1
)
k
(
n
k
)
ln
-->
(
x
+
k
)
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)}
Теорема Гауса
Γ Γ -->
′
(
p
/
q
)
Γ Γ -->
(
p
/
q
)
=
− − -->
γ γ -->
− − -->
ln
-->
(
2
q
)
− − -->
π π -->
2
cot
-->
(
π π -->
p
q
)
+
2
∑ ∑ -->
0
<
n
<
q
/
2
cos
-->
(
2
π π -->
p
n
q
)
ln
-->
(
sin
-->
(
π π -->
n
q
)
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)}}=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{q}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)\right)}
При цілих
p
,
q
{\displaystyle p,q}
0
<
p
<
q
{\displaystyle 0<p<q}
Є багато скінченних сум, де використовується дигамма функція. Основні з таких формул для сумування
∑ ∑ -->
r
=
1
m
ψ ψ -->
(
r
m
)
=
− − -->
m
(
γ γ -->
+
ln
-->
m
)
,
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}
∑ ∑ -->
r
=
1
m
ψ ψ -->
(
r
m
)
⋅ ⋅ -->
exp
-->
2
π π -->
r
k
i
m
=
m
ln
-->
(
1
− − -->
exp
-->
2
π π -->
k
i
m
)
,
k
∈ ∈ -->
Z
,
m
∈ ∈ -->
N
,
k
≠ ≠ -->
m
.
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.}
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
r
m
)
⋅ ⋅ -->
cos
-->
2
π π -->
r
k
m
=
m
ln
-->
(
2
sin
-->
k
π π -->
m
)
+
γ γ -->
,
k
=
1
,
2
,
… … -->
,
m
− − -->
1
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
r
m
)
⋅ ⋅ -->
sin
-->
2
π π -->
r
k
m
=
π π -->
2
(
2
k
− − -->
m
)
,
k
=
1
,
2
,
… … -->
,
m
− − -->
1
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
виведені Ґауссом.[ 1] [ 2]
∑ ∑ -->
r
=
0
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
2
r
+
1
2
m
)
⋅ ⋅ -->
cos
-->
(
2
r
+
1
)
k
π π -->
m
=
m
ln
-->
(
tan
-->
π π -->
k
2
m
)
,
k
=
1
,
2
,
… … -->
,
m
− − -->
1
{\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
∑ ∑ -->
r
=
0
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
2
r
+
1
2
m
)
⋅ ⋅ -->
sin
-->
(
2
r
+
1
)
k
π π -->
m
=
− − -->
π π -->
m
2
,
k
=
1
,
2
,
… … -->
,
m
− − -->
1
{\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
r
m
)
⋅ ⋅ -->
cot
-->
π π -->
r
m
=
− − -->
π π -->
(
m
− − -->
1
)
(
m
− − -->
2
)
6
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
r
m
)
⋅ ⋅ -->
r
m
=
− − -->
γ γ -->
2
(
m
− − -->
1
)
− − -->
m
2
ln
-->
m
− − -->
π π -->
2
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
r
m
⋅ ⋅ -->
cot
-->
π π -->
r
m
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
r
m
)
⋅ ⋅ -->
cos
-->
(
2
ℓ ℓ -->
+
1
)
π π -->
r
m
=
− − -->
π π -->
m
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
r
⋅ ⋅ -->
sin
-->
2
π π -->
r
m
cos
-->
2
π π -->
r
m
− − -->
cos
-->
(
2
ℓ ℓ -->
+
1
)
π π -->
m
,
ℓ ℓ -->
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ψ ψ -->
(
r
m
)
⋅ ⋅ -->
sin
-->
(
2
ℓ ℓ -->
+
1
)
π π -->
r
m
=
− − -->
(
γ γ -->
+
ln
-->
2
m
)
cot
-->
(
2
ℓ ℓ -->
+
1
)
π π -->
2
m
+
sin
-->
(
2
ℓ ℓ -->
+
1
)
π π -->
m
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ln
-->
sin
-->
π π -->
r
m
cos
-->
2
π π -->
r
m
− − -->
cos
-->
(
2
ℓ ℓ -->
+
1
)
π π -->
m
,
ℓ ℓ -->
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }
∑ ∑ -->
r
=
1
m
− − -->
1
ψ ψ -->
2
(
r
m
)
=
(
m
− − -->
1
)
γ γ -->
2
+
m
(
2
γ γ -->
+
ln
-->
4
m
)
ln
-->
m
− − -->
m
(
m
− − -->
1
)
ln
2
-->
2
+
π π -->
2
(
m
2
− − -->
3
m
+
2
)
12
+
m
∑ ∑ -->
ℓ ℓ -->
=
1
m
− − -->
1
ln
2
-->
sin
-->
π π -->
ℓ ℓ -->
m
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}
виведені багатьма сучасними математиками (див. наприклад Додаток B в статті Блаґошин (2014)[ 3]
Для натуральних r і m (r < m сталу Ейлера і скінченного числа елементарних функцій
ψ ψ -->
(
r
m
)
=
− − -->
γ γ -->
− − -->
ln
-->
(
2
m
)
− − -->
π π -->
2
cot
-->
(
r
π π -->
m
)
+
2
∑ ∑ -->
n
=
1
⌊
m
− − -->
1
2
⌋
cos
-->
(
2
π π -->
n
r
m
)
ln
-->
sin
-->
(
π π -->
n
m
)
{\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}
дане вираження правильне спираючись на рекурсію для всіх раціональних аргументів.
↑ R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications , Dunod, Paris, 1966.
↑ H.M. Srivastava and J. Choi. Series Associated with the Zeta and Related Functions , Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.
↑ Blagouchine, Iaroslav V. (2014). A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations. Journal of Number Theory . 148 : 537—592. arXiv :1401.3724 doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009 .
