Свою футбольну кар'єру Страус розпочав у юнацькій школі міста Нове-Място-Любавське. У 2010 році він потрапив у молодіжну команду «Ягеллонія».
19 травня 2013 року відбувся дебют Джонатана в чемпіонаті Польщі в матчі проти «Корони» з Кельців, який завершився поразкою білостокців з рахунком 5:0[1]. Страус з'явився на полі на 78-й хвилині, замінивши Томаша Купіша. Три матчі, які залишилися, сезону 2012/13 років Джонатан відіграв без замін у стартовому складі[2].
За наступні сезони Страус так і не став гравцем основного складу «Ягеллонії» й до початку сезону 2015/16 років провів сумарно 32 матчі.