Даміан Домбровський є вихованцем клубу «Заглембє» (Любін). Саме в цбому клубі Домбровський дебютував на професійному рівні. З 2012 року футболіст грав в оренді. Спочатку це був клуб Другого дивізіону «Польковиці». Пізніше футболіст грав у клубі «Краковія»,[2] з яким після закінчення оренди Домбровський підписав контракт на постійній основі.[3]
Провівши у Кракові шість сезонів і зігравши близько 200 матчів, у 2019 році Домбровський перебрався до клубу «Погонь» (Щецин). Влітку 2021 року футболіст продовжив контракт із клубом.[4] Того ж року його було обрано новим капітаном команди.[5]