Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

• гіперболічний синус:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {sh} } \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ (в іноземній літературі позначається ${\displaystyle \sinh x}$).

Існує сленгова назва: «шинус».

• гіперболічний косинус:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {ch} } \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$ (в іноземній літературі позначається ${\displaystyle \cosh x}$).

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».

Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

• гіперболічний тангенс:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {th} } \,x={\frac {\mathop {\mathrm {sh} } \,x}{\mathop {\mathrm {ch} } \,x}}}$ (в іноземній літературі позначається ${\displaystyle \tanh x}$).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

• гіперболічний котангенс:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {cth} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {th} } \,x}}}$,

• гіперболічні секанс і косеканс:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {sech} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {ch} } \,x}}}$,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {csch} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {sh} } \,x}}}$.

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

${\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)}$.

${\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\operatorname {sin} x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x}$.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}$.
2. Парність:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}$.
3. Формули додавання:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\operatorname {th} y}}}$.
4. Формули подвоєного кута:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x)}$,
   5. ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}}$,
   6. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}}$.
5. Формули кратних кутів:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x}$,
   5. ${\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x}$,
   6. ${\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}}$.
6. Добуток
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}}$.
7. Суми
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} x\pm y}{\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y}}}$.
8. Формули пониження степеня
   1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}}$.
9. Похідні:
   1. ${\displaystyle (\operatorname {sh} x)^{\prime }=\operatorname {ch} x}$,
   2. ${\displaystyle (\operatorname {ch} x)^{\prime }=\operatorname {sh} x}$,
   3. ${\displaystyle (\operatorname {th} x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt}$,
   5. ${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt}$,
   6. ${\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}}$.
10. Інтеграли:
    1. ${\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C}$,
    2. ${\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C}$,
    3. ${\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C}$,
    4. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C}$,
    5. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C}$.

Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

При всіх ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ виконується

1. ${\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x}$,
2. ${\displaystyle |\operatorname {th} x|<1}$.

${\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$,

${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$,

${\displaystyle \operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}$,

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi }$ (Ряд Лорана).

Тут ${\displaystyle B_{2n}}$ — числа Бернуллі.

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках ${\displaystyle z=i\pi (n+{\tfrac {1}{2}})}$, де ${\displaystyle n}$ — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок ${\displaystyle z=i\pi n}$, лишки в цих полюсах також рівні одиниці.

• Обернені гіперболічні функції

• Гіперболічні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 184. — 594 с.
• Гиперболические функции - sh, ch, th, cth, sech, csch. www.math10.com. Архів оригіналу за 20 липня 2021. Процитовано 20 липня 2021. (рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (жовтень 2014)