Народився 9 грудня1997 року в місті Бернлі. Вихованець футбольної школи клубу «Лестер Сіті», до академії якого потрапив у віці дев'яти років. Він добре проявив себе в клубній команді юнаків до 18 років, з якою у 2015 році дійшов до півфіналу Молодіжного кубка Англії. У сезоні 2015/16 Барнс притягувався до ігор команди до 21 року, продовжуючи виступати й в молодшій команді «Лестера». У 2016 році Гарві виступав за команду «Лестера» на міжнародному турнірі з футболу «сім на сім» (HKFC Soccer Sevens), де його команда виграла другий приз. У червні 2016 року Барнс уклав з «Лестер Сіті» свій перший професійний контракт на три роки[3].
У першій половині сезону 2016/17 Барнс виступав за «Лестер» в Лізі професіонального розвитку і добре проявив себе там, забивши п'ять голів і віддавши п'ять гольових передач[4]. Завдяки цьому молодий футболіст отримав шанс зіграти за основну команду клубу. Його дебют відбувся 7 грудня 2016 року в матчі Ліги чемпіонів проти «Порту», в якому Барнс на 76-й хвилині замінив Денні Дрінквотера[5]. Хоча зустріч завершилася розгромною поразкою «Лестера» з рахунком 0:5, свій вихід на поле в матчі Гарві назвав величезним досягненням[6].
20 січня 2017 року Барнс був відданий в оренду до кінця сезону клубу Першої футбольної ліги«Мілтон-Кінз Донз»[4][7]. На наступний день Гарві дебютував у складі «Донз» у матчі проти «Нортгемптон Таун», в якому на 76-й хвилині вийшов на заміну, а через три хвилини відзначився забитим голом[8]. Барнс провів дуже успішну другу половину сезону 2016/17, зігравши в Першій лізі 21 матч і забив шість голів. За підсумками сезону він був визнаний найкращим молодим гравцем року в команді[9]. Крім того, Барнс був визнаний найкращим гравцем сезону в команді «Лестера», яка грала у Лізі професіонального розвитку[10].
21 липня 2017 року Лестер оголосив про підписання з Барнсом нового контракту на чотири роки. Коментуючи укладення контракту, головний тренер «Лестер Сіті» Крейг Шекспір заявив: «Він [Барнс] — яскравий, обдарований хлопець із хорошим ставленням до справи і великим майбутнім. Ми раді, що це майбутнє пов'язане з „Лестер Сіті“»[10]. Після яскравої гри Барнса в сезоні 2016/17 відразу кілька клубів звернулися до керівництва «Лестера» з пропозиціями про оренду гравця. 11 серпня 2017 року Гарві був відданий в оренду до кінця сезону 2017/18 клубу «Барнслі», який виступає в Чемпіоншипі[11]. Тренер «Барнслі» Пол Гекінгботтом зазначив: «Гарві — дійсно талановитий молодий гравець, і ми щасливі його прибуттю на „Оуквелл“ [домашній стадіон клубу]»[12]. Барнс дебютував у новому клубі 12 серпня в матчі проти «Іпсвіч Таун», в якому вийшов на заміну на 80-й хвилині[13]. 26 серпня в матчі проти «Сандерленда» він вперше зіграв у стартовому складі «Барнслі» і відзначився першим забитим голом за клуб[14]. Всього у складі «Барнслі» в Чемпіоншипі Гарві зіграв 23 матчі, в яких забив 5 голів і віддав 4 гольові передачі. За підсумками жовтня 2017 року він був визнаний найкращим гравцем місяця в клубі.
24 липня 2018 року Барнс уклав з «Лестером» новий контракт на чотири роки. У той же день він був відданий в оренду до кінця сезону 2018/19 клубу «Вест Бромвіч Альбіон» з Чемпіоншипу[18]. 4 серпня він дебютував у складі своєї нової команди в матчі проти «Болтон Вондерерз» і відзначився забитим голом[19]. Барнс став у «Вест Бромвічі» важливим гравцем основного складу, зігравши 26 матчів і забивши 9 голів. 11 січня 2019 року керівництво «Лестера» ухвалило рішення завершити оренду і повернути гравця в розташування клубу[20]. У другій половині сезону 2018/19 Барнс зумів закріпитися в основному складі «Лестера» і зберегти його при кількох тренерах. 20 квітня 2019 року в матчі з «Вест Гемом» він забив гол, який став для нього першим у складі «Лестера» і в Прем'єр-лізі. Всього Барнс зіграв 16 матчів, забив один гол і віддав дві гольові передачі[21].
14 червня 2019 року Барнс уклав з «Лестером» новий п'ятирічний контракт[22]. 24 серпня 2019 року Гарві забив переможний для «Лестера» гол у матчі з «Шеффілд Юнайтед». Цей гол був визнаний найкращим голом місяця в Прем'єр-лізі[23]. Станом на 19 липня 2020 року відіграв за команду з Лестера 52 матчі в національному чемпіонаті.
Виступи за збірні
16 травня 2017 року Барнс був включений до складу юнацької збірної Англії, яка вирушила на міжнародний Турнір в Тулоні. Англійська збірна була складена з гравців різних юнацьких (до 18, 19 і до 20 років), але кістяк її склали гравці команди до 18 років[24][25]. Барнс дебютував у збірній 29 травня в матчі проти молодіжної збірної Анголи, в якому вийшов на заміну на 58-й хвилині[26]. У наступному матчі зі збірної Куби, який відбувся 1 червня, Барнс забив два голи[27]. Також він відзначився дублем і в півфінальному матчі з командою Шотландії[28]. Англійська збірна виграла Турнір в Тулоні, обігравши у фіналі в серії пенальті збірну Кот-д'Івуару, причому Барнс реалізував один з післяматчевих пенальті. З чотирма забитими голами Барнс розділив звання найкращого бомбардира турніру зі земляком Джорджем Герстом і ангольським футболістом Чіку Банзою[29]. Загалом на юнацькому рівні взяв участь у 10 іграх, відзначившись 6 забитими голами.