У алгебричній геометрії поняття відокремлюваних схем є певною мірою аналогом гаусдорфових просторів у загальній топології. Зокрема топологічний простір ${\displaystyle X}$ є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли діагональ ${\displaystyle \{(x,x)\in X\times X\}}$ є замкнутою у ${\displaystyle X\times X}$. Стандартне означення гаусдорфових просторів не має особливого змісту для схем. Зокрема для афінної схеми ${\displaystyle {\rm {Spec}}R}$ із топологією Зариського, якщо нільрадикал кільця R є простим ідеалом, то перетин довільних двох відкритих множин є непустим.

Натомість перенесення означення за допомогою діагоналі приводить до змістовних понять відокремлюваних схем і морфізмів.

Нехай ${\displaystyle X\to S}$ морфізм схем і ${\displaystyle p,q\colon X\times _{S}X\to X}$ проєкції розшарованого добутку ${\displaystyle X}$ з собою на компоненти. Згідно з універсальною властивістю розшарованого добутку існує єдиний морфізм ${\displaystyle S}$-схема ${\displaystyle \Delta _{X/S}\colon X\to X\times _{S}X}$ для якого ${\displaystyle p\circ \Delta _{X/S}={\rm {Id}}_{X}=q\circ \Delta _{X/S}}$. Цей морфізм називається діагональним морфізмом для ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle S}$. Образ цього морфізму називається діагоналлю ${\displaystyle X\times _{S}X}$.

Морфізм схем ${\displaystyle X\to S}$ називається відокремлюваним морфізмом якщо діагональ ${\displaystyle X\to X\times _{S}X}$ є замкнутою множиною.

${\displaystyle S}$-схема ${\displaystyle X}$ називається відокремлюваною якщо структурний морфізм ${\displaystyle X\to S}$ є відокремлюваним.

Схема ${\displaystyle X}$ називається відокремлюваною схемою якщо канонічний морфізм ${\displaystyle X\to {\rm {Spec}}\ \mathbb {Z} }$ є відокремлюваним.

• Усі афінні схеми є відокремлюваними. Більш загально будь-який морфізм афінних схем ${\displaystyle X={\rm {Spec}}\ A}$ ${\displaystyle Y={\rm {Spec}}\ B}$ є відокремлюваним.

Будь-який морфізм афінних схем породжується гомоморфізмом кілець ${\displaystyle \varphi :B\to A.}$ Розглядаючи кільце A як B-алгебру через це відображення можна записати ${\displaystyle X\times _{Y}X={\rm {Spec}}(A\otimes _{B}A).}$ Діагональний морфізм:

${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$

відповідає гомоморфізму

${\displaystyle \psi :A\otimes _{B}A\to A:\ a\otimes _{B}b\to ab.}$

Оскільки ${\displaystyle \psi }$ є очевидно сюр'єктивним гомоморфізмом то ${\displaystyle \Delta }$ є замкнутою іммерсією і морфізм є відокремлюваним. Якщо взяти ${\displaystyle Y={\rm {Spec}}\ \mathbb {Z} }$ то одержується твердження для афінних схем.

• Дві копії ${\displaystyle X={\rm {Spec}}k[x]}$ і ${\displaystyle Y={\rm {Spec}}k[y]}$ афінної при ідентифікації відкритих множин ${\displaystyle X\setminus \{0\}={\rm {Spec}}k[x,1/x]}$ і ${\displaystyle Y\setminus \{0\}={\rm {Spec}}k[y,1/y]}$ утворюють невідокремлювану схему над ${\displaystyle {\rm {Spec}}k}$. Дана схема називається афінною прямою із подвоєним початком координат.

Дійсно позначаючи цю схему Z одержуємо, що ${\displaystyle Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z}$ можна отримати із чотирьох афінних площин ${\displaystyle {\rm {Spec}}k[x,y]}$ в яких усі точки окрім початку координат ідентифікуються. Таким чином у початку координат є чотири точки. Замикання у ${\displaystyle Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z}$ діагоналі афінної площини без початку координат міститьусі чотири точки в початку координат ${\displaystyle Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z.}$

Натомість діагональний морфізм ${\displaystyle \Delta Z\to Z\times _{{\rm {Spec}}k}Z}$ одержується склеюванням діагональних морфізмів ${\displaystyle \Delta _{1}X\to X\times _{{\rm {Spec}}k}X}$ і ${\displaystyle \Delta _{2}Y\to Y\times _{{\rm {Spec}}k}Y.}$ Образом ${\displaystyle \Delta (Z)}$ при цьому є діагональ без початку координат і дві точки у початку координат. Цей образ не є замкнутою множиною.

• Замкнуті і відкриті іммерсії є відокремлюваними морфізмами.
• Якщо ${\displaystyle X\to S}$ є відокремлюваним морфізмом, то для всіх ${\displaystyle T\to S}$ морфізм (забіна бази) ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$ є відокремлюваним.
• Розшарований добуток ${\displaystyle X\times _{S}Y}$ відокремлюваних ${\displaystyle S}$-схем є відокремлюваною ${\displaystyle S}$-схемою.
• Композиція відокремлюваних морфізмів є відокремлюваним морфізмом.
• Твердження нижче є еквівалентними:

1. ${\displaystyle X}$ є відокремлюваною схемою;
2. існує відокремлюваний морфізм ${\displaystyle X\to {\rm {Spec}}\ A}$ у деяку афінну схему;
3. кожен морфізм ${\displaystyle X\to {\rm {Spec}}A}$ є відокремлюваним.

• Якщо ${\displaystyle \scriptstyle f,g\colon X\to Y}$ є морфізмами із редукованої схеми ${\displaystyle X}$ у відокремлювану схему ${\displaystyle Y}$ і існує щільна відкрита множина ${\displaystyle U}$ для якої ${\displaystyle f|_{U}=g|_{U}}$, то ${\displaystyle f=g}$.
• Нехай ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ є морфізмом ${\displaystyle S}$-схем і ${\displaystyle Y}$ є відокремлюваною над ${\displaystyle S}$. Тоді граф морфізма ${\displaystyle f}$ є замкнутою множиною у ${\displaystyle X\times _{S}Y}$. Графом морфізма ${\displaystyle f}$ за означенням є образ морфізма ${\displaystyle ({\rm {Id}}_{X},f)\colon X\to X\times _{S}Y}$.
• Алгебричні групи є завжди відокремлюваними.

• Ueno, Kenji (1999), Algebraic geometry I. From algebraic varieties to schemes, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 9780821808627

На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій.