Внутрішня метрика

Внутрішня метрика — метрика простору, що визначається за допомогою функціоналу довжини, як інфімум довжин усіх шляхів (кривих), що з'єднують дану пару точок.

Означення

Нехай задано топологічний простір $X$ і обраний клас деяких допустимих шляхів $\Gamma$ , що міститься в множині всіх неперервних шляхів в $X$ .

На просторі $X$ заданий функціонал довжини, якщо на множині $\Gamma$ задана функція $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$ , що ставить у відповідність кожному $\gamma \in \Gamma$ значення $L(\gamma )$ (невід'ємне число або нескінченність), яке називається довжиною шляху $\gamma$ .

Метрика $\rho$ на просторі $X$ називається внутрішньою, якщо для будь-яких двох точок $x,y\in X$ відстань між ними визначається формулою $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ , де інфімум береться по всіх допустимих шляхах, що з'єднують точки $x,y\in X$ .

Пов'язані означення

Нехай $x,y\in X$ — дві довільні точки метричного простору $\rho ,X$ і $\varepsilon$ — довільне додатнє число. Точка $z_{\epsilon }\in X$ називається їх $\varepsilon$ -серединою, якщо $\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2}}\rho (x,y)+\varepsilon .$

Метричний простір $(X,\rho )$ називається геодезичним, якщо будь-які дві точки $X$ можна з'єднати найкоротшою.

Властивості

Якщо $(X,\rho )$ — простір з внутрішньої метрикою, то для будь-яких двох точок $x,y\in X$ і будь-якого $\varepsilon >0$ існує їх $\varepsilon$ -середина. У випадку, коли метричний простір $(X,\rho )$ повний, має місце і зворотне твердження: якщо для будь-яких двох точок $x,y\in X$ і будь-якого $\varepsilon >0$ існує їх $\varepsilon$ -середина, то ця метрика внутрішня.
Повний метричний простір $(X,\rho )$ з внутрішньої метрикою має наступну властивість: для будь-яких двох точок $x,y\in X$ і $\varepsilon >0$ знайдеться крива довжини $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ що з'єднує точки $x$ і $y$ . Крім того, в повному метричному просторі з внутрішньої метрикою довжина найкоротшої збігається з відстанню між її кінцями.
Теорема Гопфа — Рінова: Якщо $(X,\rho )$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньої метрикою, то будь-які дві точки $X$ можна з'єднати найкоротшою. Більш того, простір $X$ є обмежено компактним (тобто всі обмежені замкнуті підмножини $X$ є компактними).

Література

Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4

Read other articles:

Karin Herrera

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2023. Dalam artikel ini, pertama atau paternal nama keluarganya adalah Herrera dan nama keluarga maternal atau keduanya adalah Aguilar. Karin HerreraHerrera pada tahun 2023. Wakil Presiden Guatemala ke-18Mulai menjabat14 Januari 2024PresidenBern...

Distrik Kota Tinggi

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Distrik Kota Tinggi – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Distrik Kota Tinggi Daerah Kota TinggiDistrik BenderaDistrik Kota Tinggi di JohorNegaraMalaysiaNegara bagianJohorIbu kotaKota Tingg...

Stephen Kurniawan Tamadji

Stephen Kurniawan TamadjiLahirStephen Kurniawan Tamadji2 Mei 1969 (umur 54)Surabaya IndonesiaPekerjaanpenyanyiSuami/istriEsa TamadjiKarier musikTahun aktif1994 - sekarangArtis terkaitWarna Stephen Kurniawan Tamadji yang akrab dipanggil Stephen (lahir 2 Mei 1969) adalah penyanyi Indonesia. Ia dikenal luas bersama grup musik Warna. Pranala luar Berita di Kroscek Artikel bertopik biografi Indonesia ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.lbs

Ilya Kovalchuk

Russian ice hockey player (born 1983) In this name that follows Eastern Slavic naming customs, the patronymic is Valeryevich and the family name is Kovalchuk. Ice hockey player Ilya Kovalchuk Kovalchuk in 2017Born (1983-04-15) 15 April 1983 (age 41)Kalinin, Russian SFSR, Soviet UnionHeight 6 ft 3 in (191 cm)Weight 227 lb (103 kg; 16 st 3 lb)Position Left wingShot RightKHL teamFormer teams Spartak MoscowAtlanta ThrashersAk Bars KazanKhimik Moscow Obl...

Шалфей обыкновенный

Шалфей обыкновенный Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:РастенияКлада:Цветковые растенияКлада:ЭвдикотыКлада:СуперастеридыКлада:АстеридыКлада:ЛамиидыПорядок:ЯсноткоцветныеСемейство:ЯснотковыеРод:ШалфейВид:Шалфей обыкновенный Международное научное наз...

2006 IAAF World Indoor Championships – Men's pole vault

2006 IAAF WorldIndoor ChampionshipsTrack events60 mmenwomen400 mmenwomen800 mmenwomen1500 mmenwomen3000 mmenwomen60 m hurdlesmenwomen4 × 400 m relaymenwomenField eventsHigh jumpmenwomenPole vaultmenwomenLong jumpmenwomenTriple jumpmenwomenShot putmenwomenCombined eventsPentathlonwomenHeptathlonmenvte The Men's pole vault event at the 2006 IAAF World Indoor Championships was held on March 11–12. Medalists Gold Silver Bronze Brad Walker United States Alhaji Jeng Sweden Tim Lob...

Spiritual Canticle

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Spiritual Canticle – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2013) (Learn how and when to remove this message) Arms of the Discalced Carmelites (distinguished by the Cross) drawn on a page of the Manuscript Sanlúcar. The manuscript retains the ha...

1923 Philadelphia mayoral election

Philadelphia mayoral election 1923 Philadelphia mayoral election← 19191927 → Nominee W. Freeland Kendrick A. Raymond Raff Party Republican Democratic Popular vote 286,398 37,239 Percentage 88.49% 11.51% Mayor before election J. Hampton Moore Republican Elected Mayor W. Freeland Kendrick Republican Elections in Pennsylvania Federal government U.S. President 1789 1792 1796 1800 1804 1808 1812 1816 1820 1824 1828 1832 1836 1840 1844 1848 1852 1856 1860 1864 1868...

Aarhus

City in Central Denmark Region, Denmark This article is about the city in Denmark. For the convention on public participation, see Aarhus Convention. For the meteorite, see Aarhus (meteorite). City in Central Denmark Region, DenmarkAarhusCityFrom top and left to right: Aarhus skyline, Aarhus City Hall, Isbjerget, Park Allé SealCoat of armsNickname: Smilets by (City of smiles)AarhusLocation within DenmarkShow map of DenmarkAarhusLocation within ScandinaviaShow map of ScandinaviaAarhusLoc...

Matt Reeves

Matt Reeves nel 2014 Matt Reeves (Rockville Centre, 27 aprile 1966) è un regista, sceneggiatore, produttore televisivo e produttore cinematografico statunitense. Indice 1 Biografia 2 Filmografia 2.1 Regista 2.1.1 Cinema 2.1.2 Televisione 2.2 Sceneggiatore 2.3 Produttore 3 Riconoscimenti 3.1 Saturn Award 3.2 Empire Awards 4 Note 5 Altri progetti 6 Collegamenti esterni Biografia È noto per essere il creatore, assieme all'amico d'infanzia J. J. Abrams,[1] della serie televisiva Felicit...

大字 (数字)

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています（詳細）。数字の大字（だいじ）は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字（小字）の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。概要壱万円日本銀行券（「壱」が大字）弐千円日本銀行券（「弐」が大字）漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

Engan languages

Family of languages Not to be confused with Angan languages. EnganEnga – Southern HighlandsGeographicdistributionNew GuineaLinguistic classificationNortheast New Guinea and/or Trans–New Guinea?EnganSubdivisions North (Engan) South (Kewa–Huli) Glottologenga1254Map: The Engan languages of New Guinea The Engan languages Trans–New Guinea languages Other Papuan languages Austronesian languages Uninhabited The Engan, or more precis...

83rd Infantry Division (Wehrmacht)

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: 83rd Infantry Division Wehrmacht – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2016) (Learn how and when to remove this message) 83rd Infantry Division83. Infanterie-Division83. Infanterie Division Vehicle InsigniaActiveDecember 1939 – May 1945C...

سكالا أوروبو

سكالا أوروبو خريطة الموقع تقسيم إداري البلد اليونان [1] إحداثيات 38°19′11″N 23°47′15″E / 38.319722222222°N 23.7875°E / 38.319722222222; 23.7875 [2] السكان التعداد السكاني 1082 (resident population of Greece) (2021)1234 (resident population of Greece) (2001)1174 (resident population of Greece) (1991)1430 (resident population of Greece) (2011)436 ...

الدوري الإنجليزي لكرة القدم 1919–20

الدوري الإنجليزي لكرة القدم 1919–20 تفاصيل الموسم دوري كرة القدم الإنجليزية النسخة 28 البلد المملكة المتحدة البطل وست بروميتش ألبيون الدوري الإنجليزي لكرة القدم 1914–15 الدوري الإنجليزي لكرة القدم 1920–21 تعديل مصدري - تعديل الدوري الإنجليزي لكرة القدم 191...

Noah Klieger

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Noah KliegerNoah Klieger, 2018Lahir(1925-07-31)31 Juli 1925Strasbourg, PrancisMeninggal13 Desember 2018(2018-12-13) (umur 93)IsraelKebangsaanIsraeliPekerjaanJurnalis, eksekutif olahragaTahun aktif1945–2016 Penghargaan(2017) Yakir Ramat Gan...

India ai Giochi della IX Olimpiade

Questa voce sull'argomento giochi olimpici è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. India ai Giochi della IX OlimpiadeAmsterdam 1928 Codice CIOIND Comitato nazionaleComitato Olimpico Indiano Atleti partecipanti21 in 2 discipline Di cui uomini/donne21 - 0 Medagliere Posizione 24ª 1 0 0 1 Cronologia olimpica (sommario)Giochi olimpici estivi 1900 · 1904 · 1908 · 19...

当代东方

当代东方投资股份有限公司Lead Eastern Investment Co.,Ltd曾用名大同水泥股份有限公司公司類型前上市股份有限公司、民营企业股票代號老三板：400147深交所除牌前：000673机构代码91140000602168003F （查）成立1997年1月17日代表人物董事长：王玲玲总裁：王飞总经理：王玺锭（兼法定代表人）、谭旭總部中华人民共和国总部：北京市朝阳区东大桥路8号SOHO尚都北塔A座8层、福建省厦�...

Università degli Studi di Milano

Disambiguazione – Università di Milano rimanda qui. Se stai cercando un'altra università, vedi Università di Milano (disambigua). Università degli Studi di Milano Ingresso principale in via Festa del Perdono, 7 UbicazioneStato Italia CittàMilano Altre sediBosisio Parini, Busto Arsizio, Cernusco sul Naviglio, Crema, Edolo, Garbagnate Milanese, Legnano, Lodi, Mantova, Rozzano, San Donato Milanese, Sesto San Giovanni[1] Dati generaliNome latinoUniversitas Studio...

Homosexualität in Saudi-Arabien

Saudi-Arabien Homosexualität ist in Saudi-Arabien gesellschaftlich tabuisiert und wird mit Gefängnishaft, Körperstrafen und bis hin zur Todesstrafe bestraft. Inhaltsverzeichnis 1 Illegalität 2 Gesellschaftliche Situation 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 Einzelnachweise Illegalität In Saudi-Arabien sind homosexuelle Handlungen strafbar und im Höchstmaß mit der Todesstrafe bedroht. Die Gerichte verhängen auch Peitschenhiebe und Gefängnisstrafen von unterschiedlicher Dauer.[1] Ende 200...

PROFILPELAJAR.COM