Вели́ка теоре́ма Ферма́ (відома також під назвою остання теорема Ферма) — твердження, що для довільного натурального числа рівняння (рівняння Ферма) не має розв'язків у цілих числах, відмінних від нуля.
Неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати, ні взагалі довільний степінь, більший від квадрата, на два степені з таким самим показником. Я відкрив цьому воістину чудове доведення, але ці поля для нього занадто малі.
Оригінальний текст (лат.)
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Зустрічаються вужчі варіанти формулювання, один з яких стверджує, що це рівняння не має натуральних коренів. Однак, очевидно, що якщо існують корені в цілих числах, то існують і в натуральних числах. Справді, нехай a, b, c — цілі числа, що задовольняють рівняння Ферма. Якщо n парне, то |a|, |b|, |c| теж будуть коренями, а якщо непарне, то перенесемо всі степені з від'ємними значеннями в іншу частину рівняння, змінивши знак. Наприклад, якби існував розв'язок рівняння і при цьому від'ємне, а інші додатні, то , і отримуємо натуральні розв'язки c, |a|, b. Тому обидва формулювання еквівалентні.
Для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести Ал-Ходжанді, але його доведення не збереглося.
У загальному вигляді теорему сформулював П'єр Ферма в 1637 році на полях «Арифметики» Діофанта. Справа в тому, що Ферма записував свої гіпотези на полях математичних трактатів. Теорему, про яку йде мова, він записав з припискою, що знайдене ним доведення цієї теореми надто довге, щоб його можна було помістити на полях цієї книги.
Пізніше Ферма опублікував доведення для випадку , що дає підстави для сумнівів, чи мав він доведення для загального випадку.
Над повним доведенням Великої теореми працювало чимало видатних математиків і безліч дилетантів-аматорів; вважається, що теорема стоїть на першому місці за кількістю некоректних «доведень». Проте ці зусилля привели до отримання багатьох важливих результатів сучасної теорії чисел. Давид Гільберт у своїй доповіді «Математичні проблеми» на II Міжнародному конгресі математиків (1900) зазначив, що пошук доведення для цієї, здавалося б, малозначної теореми, привів до глибоких результатів у теорії чисел.
У 1908 році німецький математик Пауль Вольфскель[en] заповів 100 тис. німецьких марок тому, хто доведе теорему Ферма. Однак після Першої світової війни премія знецінилася.
Німецький математик Герхард Фрай припустив, що Велика теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями — Сімура — Вейля. Це припущення довів Кен Рібет.
Про доведення теореми було оголошено влітку 1993 року. Під час триденної лекції в Інституті сера Ісаака Ньютона у Кембріджі Ендрю Вайлс озвучив основні принципи доведення гіпотези Таніями — Сімури, наслідком якої було доведення і Великої теореми Ферма. Але, коли рукописи з детальним доведенням передали на рецензування, в одному з розділів знайшли суттєву помилку. Остаточно теорему довів Ендрю Вайлс за участі Річарда Тейлора тільки 1995 року.[джерело?] 129-сторінкове доведення надруковано в журналі «Annals of Mathematics»[1].
У 2016 році за доведення Великої теореми Ферма Ендрю Вайлс отримав премію Абеля.
Колін Мак-Ларт зазначив, що, можливо, доведення Вайлса можна спростити, щоб не припускати існування так званих «великих кардиналів».
Постников М. М. Теорема Ферма. — М. : Наука, 1978. — 130 с.
Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей = Fermat's Last Theorem for Amateurs. — М. : Мир, 2003. — 429 с.
Сингх С. Великая теорема Ферма = Fermat's Last Theorem. — М. : МЦНМО, 2000. — 288 с.
Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма. — М.-Л. : Госиздат, 1927. — 76 с.
Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма: Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел = Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. — М. : Мир, 1980. — 486 с.