Син бронзового призера чемпіонату СРСР у складі київського «Сокола» Олега Васюніна. Хокеєм почав займатися в Угорщині, де в той час грав його батько. Учасник молодіжного чемпіонату світу-2004 в складі команди Угорщини. Того року Федерація хокею України запрошувала гравця до складу своєї збірної. Артем Васюнін відмовився, хоча мав українське громадянство[1]. У 2005—2012 роках захищав кольори національної збірної Угорщини. Учасник відбіркового турніру на Олімпійські ігри і трьох чемпіонатів світу, у тому числі 2009 року — в елітному дивізіоні.
На клубному рівні захищав кольори команд «Альба Волан» (Секешфегервар), «Ференцварош» (Будапешт), «Дунаферр», «Дунайвароші Ацельбікак» (Дунауйварош) і «Дебрецен». Його клуби виступали у чемпіонаті Угорщини, Ерсте-лізі[en] і Австрійській хокейній лізі У складі команди з Секешфегервару чотири рази здобував перемоги в Чемпіонаті Угорщини.
