Антоні Рачоппі уродженець міста Женева. Займатися футболом він почав у клубі нижчого дивізіону «Шенуа». Після чого, у 2012 році воротар перейшов до футбольної академії французького клубу «Ліон». З 2016 року воротар почав потрапляти до заявки другої команди «Ліона» у четвертому дивізіоні чемпіонату Франції. Та в основі Рачоппі так і не зіграв жодного матчу і перед початком сезону 2020/21 він перейшов до складу «Діжона»,[2] з яким за результатми першого ж сезону посів останнє місце і вибув до Ліги 2.
У січні 2022 року Рачоппі повернувся до Швейцарії, де підписав контракт на 3,5 роки з клубом «Суперліги»«Янг Бойз».[3] Вже 29 січня воротар дебютував у чемпіонаті Швейцарії.