Альфа Кронбаха
Названо на честь	Lee Cronbachd

Тау-еквівалентна надійність (${\displaystyle {\rho }_{T}}$)^[1] — коефіцієнт надійності тесту з одноразовим застосуванням (тобто надійність осіб над предметами, які мають фіксований випадок^[2]), коефіцієнт, який зазвичай називають альфа або коефіцієнт альфа Кронбаха . ${\displaystyle {\rho }_{T}}$ є найвідомішим і найчастіше використовується серед коефіцієнтів надійності, але останні дослідження рекомендують не використовувати його беззастережно.^{[3][4][5][6][7][8]} Коефіцієнти надійності на основі моделювання структурних рівнянь часто рекомендуються як його альтернатива.

Значенням ${\displaystyle X_{i}}$ позначають спостережуваний бал предмета ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle X(=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k})}$ позначають суму всіх предметів тесту, що складається з ${\displaystyle k}$ предметів. Значенням ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ позначають коваріацію між ${\displaystyle X_{i}}$ і ${\displaystyle X_{j}}$, ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}(=\sigma _{ii})}$ позначають дисперсію ${\displaystyle X_{i}}$, і ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ позначають дисперсію ${\displaystyle X}$ . ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ складається з варіацій елементів та міжпозиційних коваріацій. Це є, ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}\sigma _{ij}=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j\neq {i}}^{k}\sigma _{ij}}$ . Значенням ${\displaystyle {\overline {\sigma _{ij}}}}$ позначають середнє значення міжпозиційних коваріацій. Це є, ${\displaystyle {\overline {\sigma _{ij}}}={\sum _{i=1}^{k}\sum _{j\neq {i}}^{k}\sigma _{ij} \over k(k-1)}}$ .

${\displaystyle {\rho }_{T}}$ «систематизовано»^[1] формулою: > ${\displaystyle \rho _{T}={k^{2}{\overline {\sigma _{ij}}} \over \sigma _{X}^{2}}}$ . Більш часто використовується більш важка для розуміння версія формули ${\displaystyle {\rho }_{T}={{k} \over {k-1}}\left(1-{{\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}} \over {\sigma _{X}^{2}}}\right)}$ .

${\displaystyle {\rho }_{T}}$ застосовується до наступних даних, які задовольняють умові бути тау-еквівалентом.

Спостережна матриця коваріації

	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle X_{4}}$
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{4}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 13}$

${\displaystyle k=4}$, ${\displaystyle {\overline {\sigma _{ij}}}=6}$ ,

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j\neq {i}}^{k}\sigma _{ij}=(10+11+12+13)+4*(4-1)*6=118}$ ,

та ${\displaystyle \rho _{T}={4^{2}*6 \over 118}=.8135}$ .

${\displaystyle {\rho }_{T}}$ застосовується до наступних даних, які не відповідають умові бути тау-еквівалентом.

Спостережна матриця коваріації

	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle X_{4}}$
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 8}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle X_{4}}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 13}$

${\displaystyle k=4}$, ${\displaystyle {\overline {\sigma _{ij}}}=(4+5+6+7+8+9)/6=6.5}$ ,

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=(10+11+12+13)+2*(4+5+6+7+8+9)=124}$ ,

і ${\displaystyle \rho _{T}={4^{2}*6.5 \over 124}=.8387}$ .

Порівняйте це значення зі значенням застосування конгенеріальної надійності до одних і тих же даних.

Для використання ${\displaystyle {\rho }_{T}}$ як коефіцієнт надійності, дані повинні відповідати наступним умовам.

1) Невимірність

2) (істотна) тау-еквівалентність

3) Незалежність від помилок

У ході досліджень паралельні дані мають рівні міжрядкові коваріації (тобто недіагональні елементи матриці коваріації) та рівні дисперсії (тобто діагональні елементи матриці коваріації). Наприклад, наступні дані задовольняють паралельній умові. У паралельних даних, навіть якщо замість коваріаційної матриці використовується матриця кореляції, відсутня втрата інформації . Усі паралельні дані також є еквівалентними тау, але зворотне не відповідає дійсності. Тобто серед трьох умов паралельну умову найважче виконати.

Спостережна матриця коваріації

	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle X_{4}}$
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{4}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 10}$

Від самого початку, дані тау-еквівалента мають рівні коваріації, але їх відхилення можуть мати різні значення. Наприклад, наступні дані задовольняють умові бути тау-еквівалентом. Усі пункти, що містяться в тау-еквівалентних даних, мають однакову дискримінацію або важливість. Усі тау-еквівалентні дані також є спільними, але зворотне не відповідає дійсності.

Спостережна матриця коваріації

	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle X_{4}}$
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{4}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 10}$

На рівні популяції конгенеричні дані не повинні мати рівних варіацій або коваріацій, за умови, що вони неоднакові. Наприклад, наведені нижче дані можуть бути на початковому етапі. Усі елементи, що знаходяться в загальних даних, можуть мати різну дискримінацію або значення.

Спостережна матриця коваріації

	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle X_{4}}$
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 8}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle X_{4}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 8}$

Існують численні коефіцієнти надійності. Серед них умовні назви коефіцієнтів надійності, які пов'язані та часто використовуються, узагальнені так:^[1]

Умовні назви коефіцієнтів надійності

	Split-half	Невимірний	Багатовимірність
Паралельний	Формула Спірмена-Брауна	Стандартизований ${\displaystyle \alpha }$	(Без умовної назви)
Тау-еквівалент	Формула Фланагана Формула Рулона Формула Фланагана-Рулона Ґуттмана ${\displaystyle \lambda _{4}}$	Кронбах ${\displaystyle \alpha }$ коефіцієнт ${\displaystyle \alpha }$ Ґуттмана ${\displaystyle \lambda _{3}}$ KR-20 Надійність Хойт	Стратифікований ${\displaystyle \alpha }$
Породжене	Коефіцієнт Ангоффа-Фельдта Коефіцієнт Раджу (1970)	композитна надійність побудувати надійність спільна надійність коефіцієнт ${\displaystyle \omega }$ одновимірний ${\displaystyle \omega }$ Коефіцієнт Раджу (1977)	коефіцієнт ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ всього MdDonald's ${\displaystyle \omega }$ багатовимірність ${\displaystyle \omega }$

Поєднання назв рядків і стовпців дає передумови для відповідного коефіцієнта надійності. Наприклад, Кронбах ${\displaystyle \alpha }$ і Гуттмана ${\displaystyle \lambda _{3}}$ — коефіцієнти надійності, отримані за умови одновимірності та тау-еквівалента.

Звичайні назви невпорядковані та несистемні. Звичайні назви не дають інформації про природу кожного коефіцієнта або не вводять в оману інформації (наприклад, про складову надійність). Звичайні назви непослідовні. Одні — формули, а інші — коефіцієнти. Деякі названі на честь оригінального розробника, деякі названі на честь того, хто не є оригінальним розробником, а інші не містять імені будь-якої людини. У той час як одна формула посилається на кілька імен, на кілька формул посилається однt позначення (наприклад, альфа та омега). Запропоновані систематичні назви та їх позначення для цих коефіцієнтів надійності такі:^[1]

Систематичні назви коефіцієнтів надійності

	Спліт-половина	Невимірний	Багатовимірність
Паралельний	роздільна половина паралельної надійності (${\displaystyle \rho _{SP}}$)	паралельна надійність (${\displaystyle \rho _{P}}$)	багатовимірна паралельна надійність (${\displaystyle \rho _{MP}}$)
Тау-еквівалент	роздільна половина тау-еквівалентна надійність (${\displaystyle \rho _{ST}}$)	tau-еквівалентна надійність (${\displaystyle \rho _{T}}$)	багатовимірна тау-еквівалентна надійність (${\displaystyle \rho _{MT}}$)
Породжене	конгенерична надійність з розділеною половиною (${\displaystyle \rho _{SC}}$)	вроджена надійність (${\displaystyle \rho _{C}}$)	Біфакторна модель Надійність біфактора (${\displaystyle \rho _{BF}}$) Факторна модель другого порядку Фактор надійності другого порядку (${\displaystyle \rho _{SOF}}$) Корельована факторна модель Відповідність коефіцієнта надійності (${\displaystyle \rho _{CF}}$)

${\displaystyle \rho _{T}}$ часто називають коефіцієнтом альфа і ${\displaystyle \rho _{P}}$ часто називають стандартизованою альфа. Через стандартизований модифікатор ${\displaystyle \rho _{P}}$ часто помиляється за більш стандартну версію, ніж ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Немає історичної підстави, на яку можна посилатися ${\displaystyle \rho _{P}}$ як стандартизована альфа. Кронбах (1951)^[9] не називав цей коефіцієнт альфа, і не рекомендував його використовувати. ${\displaystyle \rho _{P}}$ рідко використовувався до 1970-х років^[10] . Використання ${\displaystyle \rho _{P}}$ не рекомендується, оскільки паралельну умову важко виконати в реальних даних.

${\displaystyle \rho _{T}}$ дорівнює середньому значенню ${\displaystyle \rho _{ST}}$ значення, отримані для всіх можливих розділених половин. Цей взаємозв'язок, доведений Кронбахом (1951)^[9], часто використовується для пояснення інтуїтивного значення ${\displaystyle \rho _{T}}$. Однак ця інтерпретація не відображає того, що ${\displaystyle \rho _{ST}}$ недооцінює надійність при застосуванні до даних, які не є тау-рівнозначними. Максимум усіх можливих ${\displaystyle \rho _{ST}}$ значення ближче до надійності, ніж середнє серед усіх можливих ${\displaystyle \rho _{ST}}$ значення.^[6] Цей математичний факт був відомий ще до публікації Кронбаха (1951).^[11] Порівняльне дослідження^[12] повідомляє, що максимум ${\displaystyle \rho _{ST}}$ є найбільш точним коефіцієнтом надійності.

Revelle (1979)^[13] відноситься до мінімуму всього можливого ${\displaystyle \rho _{ST}}$ значення як коефіцієнт ${\displaystyle \beta }$, і рекомендує це ${\displaystyle \beta }$ надає додаткову інформацію, яка ${\displaystyle \rho _{T}}$ не.^[5]

Якщо припущення про одновимірність та тау-еквівалентності виконуються, ${\displaystyle \rho _{T}}$ дорівнює ${\displaystyle \rho _{C}}$ .

Якщо одновимірність задоволена, але тау-еквівалентність не задоволена, то ${\displaystyle \rho _{T}}$ менше, ніж ${\displaystyle \rho _{C}}$^[6] .

${\displaystyle \rho _{C}}$ є найбільш часто використовуваним коефіцієнтом надійності після ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Користувачі, як правило, представляють і те, і інше, а не замінюють ${\displaystyle \rho _{T}}$ ${\displaystyle \rho _{C}}$^[1] .

Дослідження в яких були представлені обидва коефіцієнта, повідомляє про це ${\displaystyle \rho _{T}}$ на .02 менше, ніж ${\displaystyle \rho _{C}}$ в середньому.^[14]

Якщо ${\displaystyle \rho _{T}}$ застосовується до багатовимірних даних, його значення менше коефіцієнтів багатовимірної надійності і більше, ніж ${\displaystyle \omega _{T}}$ .^[1]

${\displaystyle \rho _{T}}$ дорівнює версії посиленої консистенції коефіцієнта кореляції внутрішньокласового рівня, який зазвичай використовується в спостережних дослідженнях. Але це лише умовно. Щодо дисперсійних компонентів, ця умова стосується вибірки предмета: якщо і лише тоді, коли значення елемента (у випадку рейтингу) дисперсійної складової дорівнює нулю. Якщо цей дисперсійний компонент негативний, ${\displaystyle \rho _{T}}$ буде недооцінювати посилений коефіцієнт кореляції в межах класу ; якщо цей дисперсійний компонент позитивний, ${\displaystyle \rho _{T}}$ переоцінить цей посилений коефіцієнт кореляції внутрішньокласного типу .

${\displaystyle \rho _{SP}}$^[15][16] був єдиним відомим коефіцієнтом надійності. Проблема полягала в тому, що оцінки надійності залежали від того, як елементи були розділені навпіл (наприклад, непарні / парні або спереду / ззаду). Критика висловлювалася проти цієї недостовірності, але більше двох десятиліть науковці не могли дійти спільної думки.^[17]

Кудер та Річардсон (1937)^[18] розробили кілька коефіцієнтів надійності, які могли б подолати проблему ${\displaystyle \rho _{SP}}$ . Вони не давали конкретних назв коефіцієнтам надійності. Рівняння 20 у їхній статті є ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Цю формулу часто називають формулою Кудера-Річардсона 20 або KR-20. Вони мали справу з випадками, коли спостережувані бали були дихотомічними (наприклад, правильними чи неправильними), тому вираз KR-20 дещо відрізняється від звичайної формули ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Огляд цього документу виявляє, що вони не представили загальної формули тому, що їм не потрібно, а не тому, що не могли. Дозволяє ${\displaystyle p_{i}}$ позначають правильне співвідношення відповідей предмета ${\displaystyle i}$, і ${\displaystyle q_{i}}$ позначають неправильне співвідношення відповідей предмета ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle p_{i}+q_{i}=1}$). Формула KR-20 така. ${\displaystyle {\rho }_{KR-20}={{k} \over {k-1}}\left(1-{{\sum _{i=1}^{k}p_{i}q_{i}} \over {\sigma _{X}^{2}}}\right)}$

З тих пір ${\displaystyle p_{i}q_{i}=\sigma _{i}^{2}}$, КР-20 і ${\displaystyle \rho _{T}}$ мають однакове значення.

Кудер і Річардсон (1937) висловили непотрібні припущення ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Проведено кілька досліджень ${\displaystyle \rho _{T}}$ іншим способіом, ніж це робили Кудер та Річардсон (1937).

Hoyt (1941)^[19] похідний ${\displaystyle \rho _{T}}$ за допомогою ANOVA (аналіз дисперсії). Кирила Хойта можна вважати першим розробником загальної формули КР-20, але він прямо не представив формулу ${\displaystyle \rho _{T}}$ .

Перший вираз сучасної формули ${\displaystyle \rho _{T}}$ з'являється у Джексона та Фергюсона (1941)^[20] . Представлена ними версія наступна. Едгертон і Томпсон (1942)^[21] використовували ту саму версію. ${\displaystyle {\rho }_{T}={{k} \over {k-1}}\left({\sigma _{X}^{2}-{\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}} \over {\sigma _{X}^{2}}}\right)}$

Ґуттман (1945)^[11] вивів шість формул надійності, кожну з яких позначав ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{6}}$ . Луї Ґуттман довів, що всі ці формули завжди були меншими або рівними надійності, і виходячи з цих характеристик, він назвав ці формули «нижчими межами надійності». Ґуттмана ${\displaystyle \lambda _{4}}$ є ${\displaystyle \rho _{ST}}$, і ${\displaystyle \lambda _{3}}$ є ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Він це довів ${\displaystyle \lambda _{2}}$ завжди більше або дорівнює ${\displaystyle \lambda _{3}}$ (тобто точніше). У той час усі обчислення проводилися папером та олівцем, а з формули ${\displaystyle \lambda _{3}}$ було простіше обчислити, він це згадав ${\displaystyle \lambda _{3}}$ був корисний за певних умов. ${\displaystyle \lambda _{3}={\rho }_{T}={{k} \over {k-1}}\left(1-{{\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}} \over {\sigma _{X}^{2}}}\right)}$

Гулліксен (1950)^[22] дослідив ${\displaystyle \rho _{T}}$ з меншою кількістю припущень, ніж попередні дослідження. Припущення, яке він використав, є суттєвою тау-еквівалентністю в сучасних умовах.

Дві формули були визнані абсолютно однаковими, і вираз загальної формули KR-20 не використовувався. Хойт^[19] пояснив, що його метод «дає точно такий же результат», як і KR-20. Джексон та Фергюсон^[20] констатували, що дві формули є «однаковими». — сказав Гуттман^[11] ${\displaystyle \lambda _{3}}$ є «алгебраїчно ідентичним» KR-20 (с.275). Гулліксен^[22] також визнав, що дві формули є «однаковими».

Навіть дослідження, критичні щодо KR-20, не вказували на те, що оригінальну формулу KR-20 можна було застосувати лише до дихотомічних даних.^[23]

Як і в попередніх дослідженнях^{[19][11][20][22]}, Кронбах (1951)^[9] винайшов інший метод отримання ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Його інтерпретація була інтуїтивно привабливішою, ніж у попередніх дослідженнях. Тобто він довів, що ${\displaystyle \rho _{T}}$ дорівнює середньому ${\displaystyle \rho _{ST}}$ значення, отримані для всіх можливих розділених половин. Він критикував те, що назва KR-20 була дивною, і запропонував нову назву, коефіцієнт альфа. Його підхід досяг величезного успіху. Однак він не лише опустив деякі ключові факти, але й дав неправильне пояснення.

По-перше, він позиціонував коефіцієнт альфа як загальну формулу KR-20, але опустив пояснення, що існуючі дослідження опублікували точно однакову формулу. Ті, хто читав лише Кронбаха (1951) без попередніх знань, можуть неправильно зрозуміти, що він першим розробив загальну формулу KR-20.

По-друге, він не пояснив, за якої умови ${\displaystyle \rho _{T}}$ дорівнює надійності. Неексперти можуть помилково вважати ${\displaystyle \rho _{T}}$ загальним коефіцієнтом надійності, який можна було використовувати для всіх даних незалежно від необхідних умов.

По-третє, він не пояснив, чому змінив своє ставлення до ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Зокрема, він не дав чіткої відповіді на проблему недооцінки ${\displaystyle \rho _{T}}$, яку він сам критикував^[23] .

По-четверте, він стверджував, що висока цінність ${\displaystyle \rho _{T}}$ у демонстрації однорідності даних.

Новік і Льюїс (1967)^[24] довели необхідну і достатню умову ${\displaystyle \rho _{T}}$, що дорівнює надійності і назвали його умовою бути по суті тау-еквівалентом.

Кронбах (1978)^[2] зазначав, що причина, по якій Кронбах (1951) отримала багато цитат, була «здебільшого тому, що [він] поставив фірмове найменування на загальний коефіцієнт»^[1] . Він пояснив, що спочатку планував називати інші типи коефіцієнтів надійності (наприклад, надійність між рейтингами або надійність тестування для повторного тестування) грецькими буквами (наприклад, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \ldots }$), але згодом передумав.

Кронбах та Шавельсон (2004)^[25] спонукали читачів скоріше використовувати теорію узагальнення ${\displaystyle \rho _{T}}$ . Вони виступали проти використання імені Кронбах альфа. Безпосередньо заперечували існування поперднх досліджень, які опублікували загальну формулу KR-20 до Кронбаха (1951).

Припущення 1. Спостережуваний бал предмета складається з істинної оцінки предмета та помилки предмета, яка не залежить від істинної оцінки. ${\displaystyle X_{i}=T_{i}+e_{i}}$

Лема ${\displaystyle Cov(T_{i},e_{i})=Cov(T_{i},e_{j})=0,\forall i\neq j}$

Припущення 2. Помилки не залежать одна від одної. ${\displaystyle Cov(e_{i},e_{j})=0,\forall i\neq j}$

Припущення 3. (Припущення, що по суті є тау-еквівалентом) Справжній бал предмета складається з істинного бала, загального для всіх предметів, і константи елемента. ${\displaystyle T_{i}=\mu _{i}+t}$

Значенням ${\displaystyle T}$ позначають суму пункту справжніх балів. ${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}T_{i}}$

Дисперсія ${\displaystyle T}$ називається справжньою дисперсією балів.

Визначення. Надійність — це відношення справжньої дисперсії балів до спостережуваної дисперсії балів. ${\displaystyle \rho ={\sigma _{T}^{2} \over \sigma _{X}^{2}}}$

З наведених припущень встановлюється наступне співвідношення.

${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=Var(\mu _{i}+t+e_{i})=\sigma _{t}^{2}+\sigma _{e_{i}}^{2}(\because Var(\mu _{i})=Cov(t,e_{i})=Cov(\mu _{i},e_{i})=Cov(\mu _{i},t)=0)}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=Cov(T_{i}+e_{i},T_{j}+e_{j})=\sigma _{t}^{2}(\because Cov(T_{i},e_{j})=Cov(T_{j},e_{i})=Cov(e_{i},e_{j})=0)}$

Тому матриця коваріації між елементами виглядає наступним чином.

Спостережна матриця коваріації

	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle X_{k}}$
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}+\sigma _{e_{1}}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}+\sigma _{e_{2}}^{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle X_{k}}$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \sigma _{t}^{2}+\sigma _{e_{k}}^{2}}$

Відповідно, ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$ дорівнює середній коваріації між предметами. Це є, ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}={\overline {\sigma _{ij}}}}$

${\displaystyle \sigma _{T}^{2}=Var(\sum _{i=1}^{k}t)=k^{2}\sigma _{t}^{2}=k^{2}{\overline {\sigma _{ij}}}}$

Значенням ${\displaystyle \rho _{T}}$ позначають надійність при задоволенні зазначених вище припущень. ${\displaystyle \rho _{T}}$ є:

${\displaystyle \rho _{T}={k^{2}{\overline {\sigma _{ij}}} \over \sigma _{X}^{2}}}$

• Підручник з альфа-SPSS Cronbach [Архівовано 18 липня 2020 у Wayback Machine.]
• Безкоштовний вебінтерфейс та пакет кокронів R [1] [Архівовано 26 листопада 2015 у Wayback Machine.] дозволяє статистично порівняти два чи більше залежних або незалежних альфа-коефіцієнтів cronbach.

• Кронбах, Лі; Coefficient alpha and the internal structure of tests; Psychometrika, 16, 297—334; 1951
• Шмітт, Ніл; Uses and Abuses of Coefficient Alpha [Архівовано 15 вересня 2006 у Wayback Machine.]; Psychological Assessment, 8(4); S. 350—353; 1996