Єгипетський математичний шкіряний сувій (ЄМШС) — 25 × 43  см шкіряний сувій, придбаний Олександром Райндом^[en] у 1858 році. Він був надісланий до Британського музею в 1864 році разом з математичним папірусом Райнда, але він не був хімічно розм’якшеним і розгорнутим до 1927 року.

Зберігається у Британському музеї в Лондоні. Датований близько 1650 р. до н. е. Походить з Фів. Написаний ієратичним письмом. Довжина — 25 см, ширина — 43 см.

Написаний цей сувій справа наліво ієратичними знаками Середнього царства. Його датують до 17 століття до н. e. ^[1]

Шкіряний сувій є невеликим довідником з обчислення єгипетських дробів. Він містить 26 сум одиничних дробів, які дорівнюють іншому одиничному дробу. Суми дробів подано у чотирьох стовпцях, причому зміст 3-й та 4-й стовпців дублює зміст 1-го та 2-го. ^[2]

Єгипетський математичний шкіряний сувій

Column 1	Column 2	Column 3	Column 4
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$

З 26 перерахованих сум десять виражають числа «Ока Гора» : 1/2, 1/4 (двічі), 1/8 (тричі), 1/16 (двічі), 1/32, 1/64, перетворені з єгипетських дробів. Сім інших сум виражають одиничні дроби з парними знаменниками: 1/6 (перераховані двічі, але неправильно один раз), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 та 1/30. Як приклад, три перетворення 1/8 йшли одне за одним з одним або двома масштабними коефіцієнтами:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {3}{3}}={\frac {3}{24}}={\frac {2+1}{24}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}.}$

2. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {5}{5}}={\frac {5}{40}}={\frac {4+1}{40}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}.}$

3. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {25}{25}}={\frac {25}{200}}={\frac {8+17}{200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {17}{200}}\cdot {\frac {6}{6}}={\frac {1}{25}}+{\frac {102}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {80+16+6}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}.}$

Нарешті, дев'ять сум виражають одиничні дроби з непарними знаменниками: 2/3, 1/3 (двічі), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 та 1/15.

Експерти Британського музею не знайшли вступу та опису того, як або чому було обчислено низку еквівалентних одиничних дробів. ^[3] Еквівалентні єгипетські дроби виражають дроби 1/3, 1/4, 1/8 та 1/16. Сума дробів, які виражають 1/15 була помилково зазначена як рівна 1/6. Ще одна серйозна помилка була пов'язана з 1/13, проблемою, яку експерти 1927 року не намагалися розв'язати.

Оригінальні математичні тексти ніколи не містять пояснень, звідки взялися процедури та формули. Це правдиво і для ЄМШС. Науковці намагалися визначити, якими методами стародавні єгиптяни могли скористатися як таблиці одиничних дробів ЄМШС, так і 2 / n таблиць, відомих з математичного папіруса Райнда та Лахунського математичного папіруса^[en]. Обидва типи таблиць використовувались для обчислень з дробами та для перетворення вимірювальних одиниць. ^[2]

Було помічено, що в ЄМШС є групи дуже схожих сум одиничних дробів. Наприклад, 5-й та 6-й рядки легко поєднуються в рівняння 1/3   +   1/6   =   1/2. Вивести рядки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 і 26 легко, поділивши це рівняння на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 і 32 відповідно. ^[4]

Деякі задачі можна розв'язати за допомогою алгоритму, який передбачає множення чисельника і знаменника дробу на одне й те саме число

${\displaystyle {\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N}{pq}},}$

розкладу 2-го множника на суму одиничних дробів та подальшого домноження кожного дробу на 1-й множник

Скажімо, за цим методом можна розкласти дріб 1/8, як показано в ЄМШС, для N = 25 (з використанням сучасних математичних позначень):

${\displaystyle 1/8=1/25\times 25/8=1/5\times 25/40=1/5\times (3/5+1/40)}$

${\displaystyle =1/5\times (1/5+2/5+1/40)=1/5\times (1/5+1/3+1/15+1/40)=1/25+1/15+1/75+1/200}$ ^[5]

ЄМШС уважають навчальним посібником для майбутні писарів. Писар практикував перетворення раціональних чисел 1 / p та 1 / pq на суму одиничних дробів.

Наступна хронологія показує етапи чіткішого розуміння вмісту ЄМШС, пов'язаного з таблицею ${\displaystyle 2/n}$ математичного папіруса Райнда.

• 1895 – Hultsch припустив, що всі серії таблиці ${\displaystyle 2/n}$ кодуються аликвотними частинами. ^[6]
• 1927 р. – Glanville дійшов висновку, що арифметика ЄМШС суто адитивна. ^[7]
• 1929 – Vogel повідомив, що ЄМШС є важливішим (ніж RMP), хоча він містить лише 25 сум одиничних дробів. ^[8]
• 1950 – Bruins незалежно підтверджує аналіз Hultsch ${\displaystyle 2/n}$ (Bruins 1950)
• 1972 р. – Gillings простіші задачі, серії ${\displaystyle 2/(pq)}$ (Gillings 1972: 95 – 96).
• 1982 рік – Knorr визначає дроби 2/35, 2/91 та 2/95 як винятки із задачі ${\displaystyle 2/(pq)}$. ^[9]
• 2002 – Gardner виділяє п'ять моделей для ЄМШС. ^[5]

• Московський математичний папірус
• Лахунські математичні папіруси^[en]
• Берлінський папірус 6619^[en]Берлінський папірус 6619
• Дерев'яні таблички Ахміма^[en]
• Папірус Рейснера^[en]
• Папірус Райнда

1. ↑ Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society, 1999, pp. 17–18, 25, 37–38, 255–257
2. ↑ ^{а б} Annette Imhausen, in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Edited by Victor J. Katz, 2007, pp. 21–22
3. ↑ Gillings, Richard J. “The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?” (Historia Mathematica 1981), 456–457.
4. ↑ Gillings, Richard J., Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover Publications, 1982 reprint (1972) ISBN 0-486-24315-X
5. ↑ ^{а б} Gardner, Milo. “The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences”, Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency, 2002:119–134.
6. ↑ Hultsch, F. "Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen". (1895):167–71.
7. ↑ Glanville, S. R. K. "The Mathematical Leather Roll in the British Museum”. Journal of Egyptian Archaeology 13, London (1927): 232–8.
8. ↑ Vogel, Kurt. “Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik". Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Julius Schuster, Berlin (1929): 386–407.
9. ↑ Knorr, Wilbur R. “Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece”. Historia Mathematica 9, Berlin (1982): 133–171.

• Bruckheimer, M., & Salomon, Y. (1977). Some comments on R. J. Gillings’ analysis of the 2/n Table in the Rhind papyrus. Historia Mathematica, 4, 445–452.
• Bruins, E. M. (1957). Platon et la table égyptienne 2/n. Janus, 46, 253–263.
• Bruins, E. M. (1981). Egyptian arithmetic. Janus, 68, 33–52.
• Bruins, E. M. (1981). Reducible and trivial decompositions concerning Egyptian arithmetics”. Janus, 68, 281–297.
• Gardner, M. (2005). Mathematical roll of Egypt. In Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer.
• Gillings, R. J. (1962). The Egyptian Mathematical Leather Roll. Australian Journal of Science, 24, 339–344.
• Gillings, R. J. (1974). The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How did the Ancient Egyptian scribe prepare it? Archive for History of Exact Sciences, 12, 291–298.
• Gillings, R. J. (1979). The recto of the RMP and the EMLR. Historia Mathematica, 6 (1979), 442–447.
• Gillings, R. J. (1981). The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How did the scribe do it? Historia Mathematica, 456–457.
• Imhausen, A. (2003). Egyptian mathematical texts and their contexts. Science in Context, 16, 367–389.
• Rees, C. S. (1981). Egyptian fractions. Mathematical Chronicle, 10, 13–33.
• Roero, C. S. (1994). Egyptian mathematics. In I. Grattan-Guinness (Ed.) Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, (pp. 30–45). London.
• Scott, A., & Hall, H.R. (1927). Laboratory notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC. British Museum Quarterly, 2, 56.

• EMLR [Архівовано 27 червня 2020 у Wayback Machine.]
• EMLR [Архівовано 27 червня 2020 у Wayback Machine.]
• EMLR [Архівовано 23 січня 2021 у Wayback Machine.]