Q-аналог теореми, тотожності або виразу — це узагальнення, що залучає новий параметр q, який повертає початкову теорему, тотожність або вираз у границі при q → 1. Зазвичай математики цікавляться q-аналогами, які з'являються природним чином, а не вигадують довільні q-аналоги для відомих результатів. Найранішим q-аналогом є базисні гіпергеометричні ряди^[en], які вивчалися в XIX столітті^[1].

Q-аналоги найчастіше використовують у комбінаториці і в теорії спеціальних функцій. У цих умовах границя q → 1 часто формальна, оскільки q часто дискретне (наприклад, воно може представляти степінь простого числа). Q-аналоги знаходять застосування в багатьох галузях, зокрема під час вивчення фракталів і мультифрактальних мір і для вираження ентропії хаотичних динамічних систем. Зв'язок із фракталами і динамічними системами виникає з факту, що багато фрактальних об'єктів мають симетрії фуксових груп загалом (див., наприклад, статті «Indra's pearls»^[en] і «Сітка Аполлонія») і модулярної групи зокрема. Зв'язок проходить через гіперболічну геометрію і ергодичну теорію, де еліптичні інтеграли і модулярні форми відіграють головну роль. Самі q-ряди тісно пов'язані з еліптичними інтегралами.

Q-аналоги з'являються під час вивчення квантових груп і в q-збурених супералгебрах^[en]. Зв'язок тут подібний до того, як теорія струн будується на мові ріманових поверхонь, що приводить до зв'язку з еліптичними кривими, які, в свою чергу, пов'язані з q-рядами.

Класична q-теорія починається з q-аналогів для невід'ємних цілих чисел^[2]. Рівність

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

передбачає, що ми визначаємо q-аналог числа n, відомий як q-дужка або q-число числа n, рівним

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

Вибір серед інших можливостей конкретно цього q-аналог не має певної причини, однак аналог виникає природним чином у декількох контекстах. Наприклад, якщо вирішуємо використовувати позначення [n]_q для q-аналога числа n, можна визначити q-аналог факторіала, відомий як q-факторіал, у такий спосіб

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$

Цей q-аналог з'являється природним чином у декількох контекстах. Що примітно, тоді як n! підраховує число перестановок довжини n, [n]_q! підраховує перестановки з урахуванням числа інверсій. Тобто, якщо inv (w) означає число інверсій перестановки w, а S_n — множина перестановок довжини n, маємо

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}$

Зокрема, можна отримати звичний факторіал переходом до границі ${\displaystyle q\rightarrow 1}$.

Q-факторіал має також коротке визначення в термінах q-символу Похгаммера, базового будівельного блоку всіх q-теорій:

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

Від q-факторіалов можна перейти до q-біноміальних коефіцієнтів, відомих також як гаусові коефіцієнти, гаусові многочлени або гаусові біноміальні коефіцієнти:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

Q-степінь^[en] визначають як

${\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

Тригонометричні q-функції, разом з q-перетворенням Фур'є визначають у цьому ж контексті.

Гаусові коефіцієнти підраховують підпростори скінченного векторного простору. Нехай q — число елементів скінченного поля. (Число q тоді дорівнює степеню простого числа, q = p^e так що використання літери q доцільне.) Тоді число k-вимірних підпросторів n-вимірного векторного простору над полем з q елементами дорівнює

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

При прямуванні q до 1 отримуємо біноміальний коефіцієнт

${\displaystyle {\binom {n}{k}},}$

або, іншими словами, число k-елементних підмножин множини з n елементів.

Таким чином, можна розглядати скінченний векторний простір як q-узагальнення множини, а підпростори — як q-узагальнення підмножин цієї множини. Це плідна точка зору для пошуку цікавих теорем. Наприклад, є q-аналог теореми Шпернера^[en] і теорії Рамсея.

На противагу дозволу змінювати q і розгляду q-аналогів як відхилень можна розглядати комбінаторний випадок q = 1 як границю q-аналогів q → 1 (часто неможливо просто підставити q = 1 у формулу, тому доводиться брати границю).

Це можна формалізувати в поле з одним елементом^[en], де комбінаторика подається як лінійна алгебра над полем з одним елементом. Наприклад, групи Вейля є просто алгебричними групами над полем з одним елементом.

Q-аналоги часто виявляються в точних розв'язках задач багатьох тіл. У таких випадках границя при q → 1 відповідає відносно простій динаміці, тобто без нелінійних збурень, тоді як q < 1 дає можливість розглянути складний нелінійний режим зі зворотним зв'язком.

Прикладом з атомної фізики є модель створення молекулярного конденсату з ультрахолодного ферміонного газу в умовах вимітання зовнішнього магнітного поля за допомогою резонансу Фешбаха^[3]. Цей процес описується моделлю з q-збуреною версією алгебри операторів SU(2) і розв'язок описується q-збуреними показниковими і біноміальними розподілами.

• Список q-аналогів^[en]
• Числа Стірлінга
• Діаграма Юнга

• Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York : Halstead Press, 1983. — ISBN 0853124914.
• Thomas Ernst. A Method for q-calculus // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2003. — Т. 10, вип. 4 (3 січня). — С. 487–525. Архівовано з джерела 28 березня 2012. Процитовано 2011-07-27.
• Sun C., Sinitsyn N. A. Landau-Zener extension of the Tavis-Cummings model: Structure of the solution // Phys. Rev. A. — 2016. — Т. 94, вип. 3 (3 січня). — Bibcode:2016PhRvA..94c3808S. — DOI:10.1103/PhysRevA.94.033808.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Umbral calculus, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Weisstein, Eric W. q-аналог(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-дужка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-факторіал(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-біноміальний коефіцієнт(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.