Флексагон
Першовідкривач або винахідник	Arthur Harold Stoned[1]
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Флексагон у Вікісховищі

Флексагони (від англ. to flex, лат. flectere — складатися, згинатися, гнутися) — пласкі моделі зі смужок паперу, здатні складатися і згинатися певним чином. При складанні флексагона стають видні поверхні (площини), які раніше були приховані в конструкції флексагона, а ті, що були видимі, йдуть всередину.

Флексагони зазвичай мають квадратну (тетрафлексагони) або шестикутну (гексафлексагони) форму. Додаткова приставка може означати загальне число поверхонь флексагона; наприклад, додекагексафлексагон^[2] — флексагон з дванадцятьма («додека») поверхнями, кожна з яких складається з шести («гекса») секторів.

Для відмінності площин флексагона на його сектори наносять цифри, букви, елементи зображення або просто фарбують в певний колір.

Перший флексагон був відкритий в 1939 році англійським студентом Артуром Стоуном, що вивчав тоді математику в Принстонському університеті в США. Папір формату Letter був надто широким і не вміщувався в швидкозшивач, призначений для паперу формату A4. Стоун обрізав краї паперу і став складати з них різні фігури, одна з яких виявилася трігексафлексагоном^[3][4].

Незабаром був створений «Флексагонний комітет», до якого увійшли, крім Стоуна, аспірант-математик Бріан Таккерман, аспірант-фізик Річард Фейнман і викладач математики Джон У. Тьюкі^[4].

До 1940 року Фейнман і Тьюкі розробили теорію флексагонів, заклавши тим самим підстави для всіх наступних досліджень. Теорія не була опублікована повністю, хоча окремі її частини згодом були відкриті знову^[4]. Напад на Перл-Гарбор призупинив роботу «Флексагонного комітету», а війна незабаром розкидала всіх чотирьох його засновників у різні боки^[5].

Популярність флексагони отримали після появи в грудневому номері журналу «Scientific American» за 1956 рік першої колонки Мартіна Гарднера «Mathematical Games», присвяченої гексафлексагонам^[6].

Флексагони неодноразово були запатентовані у вигляді іграшок, але не отримали широкого комерційного розповсюдження^[7][8].

Гексафлексагон — це флексагон, що має форму правильного шестикутника. Кожна поверхня флексагона складається з шести трикутних секторів.

Тригексафлексагон — гексафлексагон з трьома поверхнями. Це найпростіший з усіх гексафлексагонів (не рахуючи унагексафлексагона і дуогексафлексагона). Він представляє з себе сплющену стрічку Мебіуса^[3][5].

Тригексафлексагон можна згорнути зі смужки паперу, розділеної на десять рівносторонніх трикутників, наступним чином^[3][9]:

• Вирізати з паперу стрічку шириною в 4-7 см і розмітити з двох сторін згідно малюнку:

• Перегнути стрічку по кожній з ліній в обидві сторони і знову розігнути.
• Перегнути стрічку по лініях a — b і c — d так, щоб сектори з «двійками» поєдналися один з одним:

• Перегнути стрічку по лінії e — f так, щоб поєдналися останні дві «двійки».
• Намазати клеєм сектори, помічені зірочкою, і склеїти їх:

Складання тригексафлексагона здійснюється наступним чином^[3][9][10].

Модель двома пальцями правої руки за кут D. Ліва частина моделі згинається двома пальцями лівої руки по лінії AO від себе так, щоб із зворотного боку трикутники ABO і AFO поєдналися. Утворюється «пірамідка з хвостом — клапаном».

Потім кут D поєднується ззаду з кутами B і F. У цей момент точки B, F, D знаходяться прямо за точкою O.

Після цього конструкція розкривається спочатку по лінії COE (при цьому точка O йде праворуч), а потім по лінії AO.

Цей метод складання носить назву pinch flex^[11].

Для почергового перегляду всіх трьох площин тригексафлексагона досить повторювати описану послідовність дій, після кожного разу повертаючи модель на 60°.

Гексагексафлексагон — флексагон з шістьма шестикутними поверхнями^[2][10][12].

Гексагексафлексагон можна виготовити із смужки довжиною в 19 трикутників. Виготовлення та складання флексагона показано на фотографії.

Простий спосіб виявити всі поверхні гексафлексагона — обхід Таккермана — полягає в тому, щоб тримати флексагон за один кут і розкривати модель до тих пір, поки вона не перестане розкриватися, потім повернути флексагон на 60° за годинниковою стрілкою, взятися за сусідній кут і повторити те ж саме^[10][12].

При обході Таккермана площини гексагексафлексагона будуть розкриватися в порядку: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (або в зворотному порядку), після чого послідовність повториться. Цю послідовність називають шляхом Таккермана^[10][12].

Поверхні флексагона можуть складатися з рівносторонніх або рівнобедрених трикутників, квадратів, п'ятикутників тощо. Флексагон може допускати появу певного числа поверхонь; деякі з них можуть бути аномальними (тобто включають в себе сектори з різними цифрами). Флексагон заданої форми із заданою кількістю площин може бути виготовлений з різних розгорток. Більш того, навіть одна й та ж розгортка може допускати різні варіанти згортання^[5][13].

Загальноприйнятої системи найменувань для флексагонів немає. Мартін Гарднер використовував терміни «тетрафлексагон» і «гексафлексагон» для позначення флексагонів, що складаються з квадратів і трикутників відповідно, причому поверхні тетрафлексагона могли складатися з чотирьох або шести квадратів^[5]. У книзі Flexagons Inside Out флексагони позначаються за формою секторів (квадратний, п'ятикутний тощо)^[14][15]

У більш пізній час — і додекафлексагонами стали називати флексагони з 8 і 12 трикутними секторами відповідно^[13]. Якщо сектори поверхонь флексагона являють собою правильні або трикутник, то крім гексафлексагонів існують трикутні тетра-, пента-, гептил-, октафлексагони^[15].

У журналах «Наука і життя» використовувалася в основному система префіксів IUPAC^{[16][17][18][19]}.

Гексафлексагон — це флексагон, що має форму правильного шестикутника. Кожна поверхня флексагона складається з шести трикутних секторів.

Існує безліч гексафлексагонів, що різняться за кількістю поверхонь. Відомі гексафлексагони з трьома, чотирма, п'ятьма, шістьма, сім'ю, дев'ятьма, дванадцятьма, п'ятнадцятьма, сорока вісьмома площинами; кількість площин обмежено лише тим, що папір має ненульову товщину^{[2][3][5][9][12]}.

Починаючи з гексагексафлексагона, кількість різних гексафлексагонів з однією і тією ж самою кількістю поверхонь стає більшою від 1: існує 3 гексагексафлексагони, 4 гептагексафлексагони, 12 октафлексагонів, 27 еннагексафлексагонів і 82 декагексафлексагони^[5][20].

Зовнішні відеофайли
Флексагони
	7 sided square tetraflexagon Scott Sherman

Найпростіший тетрафлексагон (флексагон з квадратними поверхнями) — тритетрафлексагон, що має три поверхні. У будь-який момент видно лише дві з трьох поверхонь.

Більш складні гексатетрафлексагон і декатетрафлексагон збираються з хрестоподібної розгортки без використання клею^[16]. Тетрафлексагони з числом площин 4n + 2 також можна виготовляти з квадратних рамок^[5].

З зигзагоподібних смужок паперу можна виготовити тетратетрафлексагон та інші тетрафлексагони з числом площин, кратним 4^[21].

Кільцевій флексагон — флексагон, поверхня якого являє собою «кільце» з многокутників. Для найменування кільцевих флексагонів може бути використаний префікс «цирко», наприклад, пентациркодекафлексагон — кільцевий флексагон із п'ятьма площинами, що складаються з десяти многокутників (п'ятикутників) кожна^[22]; тригеміциркогексафлексагон — флексагон з трьома поверхнями, кожна з яких являє собою кільце (цирко) із половинок (гемі) правильних шестикутників (гекса)^[18].

Зовнішні відеофайли
Флексагони (Методи складання)
	5 sided Hexaflexagon Scott Sherman Flexagons. Демонстрація «флексів» на прикладі пентагексафлексагона.

Описаний вище метод складання гексафлексагона, що використовували для обходу всіх площин (обходу Таккермана), носить назву pinch flex^[11]. Існують наступні методи складання гексафлексагонів:

• pinch flex^[11] (виконується на гексафлексагонах з трьома і більше площинами)
• v-flex^[23][24] (виконується на гексафлексагонах з чотирма і більше площинами)
• tuck flex^[25], «човник-гексаедр»^[10] (виконується на гексафлексагонах з чотирма площинами і більше).

Площина флексагона (сукупність секторів), на якій присутні різні цифри, називається аномальною площиною, а флексагон з видимою аномальною площиною (в аномальному положенні) — аномальним флексагоном^[10][12][26]. Поява аномальних площин можлива на флексагонах досить високого порядку, наприклад, на гексагексафлексагоні^[10], додекагексафлексагоні^[26]. Найпростішим гексафлексагоном, що допускає появу аномалій, є тетрагексафлексагон^[22]. Для досягнення аномальних площин використовуються методи складання, відмінні від «стандартного» pinch flex^[10].

• Геометрична теорія груп
• Згинаний многогранник
• Межа складання паперу
• Оригамі

та ін.^[27]

• Мартін Гарднер. Математические головоломки и развлечения = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е. — М : Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8.
• Les Pook. Flexagons Inside Out. — Cambridge University Press. — ISBN 0-521-81970-9.
• Les Pook. Serious Fun with Flexagons: A Compendium and Guide. — 2009 edition (August 17, 2009). — Springer. — 346 с. — ISBN 978-90-481-2502-9.

• А. А. Панов. Флексагоны, флексоры, флексманы // Квант. — 1988. — № 7. — С. 10—14.
• И. Кан. Аномальные флексагоны // Квант. — 1992. — № 10. — С. 57—59.
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 1. — С. 124—125. Тригексафлексагон
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 2. — С. 68—69. Гексагексафлексагон, путь Таккермана
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 3. — С. 154—155. Другие гексафлексагоны
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1970. — № 8. — С. 149. Переписка с читателями
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 3. — С. 142—143. Тетрафлексагоны
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1972. — № 4. — С. 107. Флексотрубка Стоуна
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 7. — С. 154—155. Флексотрубка Стоуна (продолжение)
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1975. — № 9. — С. 121—123. Гексатетрафлексагон, декатетрафлексагон, приставки IUPAC
• И. Константинов. Флексагонными тропами // Наука и жизнь. — 1977. — № 2. — С. 92—96, V. Туннельный перевод
• Флексагоны // Наука и жизнь. — 1977. — № 8. — С. 98—99. Пространственные модели диаграмм перевода. Пентациркодекафлексагон
• И. Кан. Гемитетрафлексагоны // Наука и жизнь. — 1992. — № 4. — С. 126—127. Гемитетрафлексагоны
• И. Кан. Гемитетра- и гемигексафлексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 11. — С. 150—152.
• И. Кан. Треугольные флексагоны // Наука и жизнь. — 1993. — № 12. — С. 42—43.

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Флексагон

• Флексагони на Арбузі
• Гексафлексагони, Тетрафлексагони. Антологія Мартіна Гарднера
• Флексагони, Розфарбовування флексагонів. Растрёпанный Блокнот
• Jürgen Köller. Flexagons(англ.), Flexagons(нім.). Mathematische Basteleien.
• Weisstein, Eric W. Flexagon, Tetraflexagon, Hexaflexagon(англ.). Wolfram MathWorld
• * Scott Sherman. Flexagons [Бестіарій, діаграми, теорія, термінологія] (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.
• David King. Flexagons (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 31 липня 2013.
• Vi Hart^[en](англ.) Hexaflexagons (YouTube): part 1 part 2.
• Флексагонные подушки(англ.). Woolly Thoughts.
• Anthony S. Conrad, Daniel K. Hartline (1962). Flexagons [Теорія флексагонів: види, конструювання, аналіз] (англ.). RIAS^[en]. Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013. (частина книги на іншому сайті)

• Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline (1962,2000,2003). Flexagons [Статті по флексагонам у форматі PDF] (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.
• Harold V. McIntosh. My Flexagon Experiences (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.

• Flexagons. Mathematrix(англ.)
• The Fabulous Flexagons. Murderous Maths(англ.)
• Yutaka Nishiyama^[en](англ.) (2010). «General Solution for Multiple Foldings of Hexaflexagons» IJPAM, Vol. 58, No. 1, 113–124. «19 faces of Flexagons»
• Flexagon Lovers (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.
• Dr. Antônio Carlos M. de Queiroz. Hexaflexagon Catalog (англ.). Архів оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 27 травня 2014.