PROFILPELAJAR.COM

Теорема Келі — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група $(G,\cdot )$ є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів $G$ . Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.

Твердження теореми

Нехай $(G,\cdot )$ — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо $Sym(G)$ її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді

\exists _{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H

. Де позначення

G\approx H

означає ізоморфність групG і H.

Доведення

Визначимо функцію $\varphi _{g}$ так: $\forall _{g\in G}:\varphi _{g}:G\rightarrow G:x\mapsto gx.$ Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є $\varphi _{g}:G\rightarrow G:x\mapsto g^{-1}x.$ ) тож $H=\left\{\varphi _{g}|g\in G\right\}\subset Sym(G)$ .

Визначимо тепер відображення: $T:G\rightarrow H:g\mapsto \varphi _{g}$ . Зважаючи, що різним $g\in G$ відповідають різні функції $\varphi _{g}$ маємо $|H|=|G|$ і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей: