Сферична теорема синусів установлює пропорційність між синусами сторін a, b, c і синусами протилежних цим сторонам кутів A, B, Cсферичного трикутника:
Сферична теорема синусів є аналогом плоскої теореми синусів і перетворюється на останню в границі за малих довжин сторін трикутників порівняно з радіусом сфери.
Доведення
Доведення за допомогою проєкцій.[1].
На малюнку показано сферичний трикутник ABC на сфері радіуса R із центром у точці O. BP — перпендикуляр до площини великого кола, яке проходить через сторону b, BM — перпендикуляр до OC, BN — перпендикуляр до OA. За твердженням, оберненим до теореми про три перпендикуляри, PM — перпендикуляр до OC, PN — перпендикуляр до OA. Зауважимо, що кут PMB дорівнює π — C, крім того, BN = R sin c і BM = R sin a. Далі, проєктуємо BN і BM на BP, маємо:
Аналогічно отримуємо другу рівність.
Доказ, що спирається на вже доведені співвідношення між сторонами та кутами прямокутного сферичного трикутника. Опустимо з вершини C перпендикуляр CD = h на сторону с або її продовження. Виразимо h двома способами з виниклих при цьому прямокутних трикутників ACD і BCD:
Звідси отримуємо пропорцію
до якої аналогічно додаємо відношення третьої пари «сторона-кут».
Історія
Теорему синусів для сферичних трикутників сформульовано й доведено у творах низки математиків середньовічного Сходу, які жили в X столітті — Абу-ль-Вафи, аль-Худжанді[en] та Ібн Ірака[en]. Вона дозволила спростити розв'язання низки задач сферичної астрономії, які раніше розв'язували за допомогою теореми Менелая для чотирибічника.