Ця стаття потребує істотної переробки. Можливо, її необхідно доповнити, переписати або вікіфікувати. Пояснення причин та обговорення — на сторінці Вікіпедія: Статті, що необхідно поліпшити. Тому, хто додав шаблон: зважте на те, щоб повідомити основних авторів статті про необхідність поліпшення, додавши до їхньої сторінки обговорення такий текст: {{subst:поліпшити автору|Скінченні різниці|2 грудня 2024}} ~~~~, а також не забудьте описати причину номінації на підсторінці Вікіпедія:Статті, що необхідно поліпшити за відповідний день. (2 грудня 2024)

Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.

Права різниця — вираз виду:

${\displaystyle \ \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$

Ліва різниця — вираз виду:

${\displaystyle \ \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).}$

Центральна різниця — вираз виду:

${\displaystyle \ \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).}$

Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці

${\displaystyle \ f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}$

Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.

Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:

${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).}$

${\displaystyle \ {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h).}$

${\displaystyle \ {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).}$

Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах ${\displaystyle f'(x+h/2)}$ та ${\displaystyle f'(x-h/2)}$ для апроксимації другої похідної ${\displaystyle f}$ в точці x, отримаємо:

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці n-того порядку виражаються формулами:

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}$

${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}$

${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

Для непарних ${\displaystyle n}$, коефіцієнт перед ${\displaystyle h}$ буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки ${\displaystyle h}$ є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від ${\displaystyle \delta ^{n}[f](x-h/2)}$ та ${\displaystyle \delta ^{n}[f](x+h/2)}$.

Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:

${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)}$ ${\displaystyle ={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)}$ ${\displaystyle ={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)}$ ${\displaystyle ={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2}).}$

Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$

апроксимує f'(x) з точністю до h². Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.

• Коефіцієнт скінченних різниць

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2010)