PROFILPELAJAR.COM

Ряд Неймана — це ряд вигляду

\sum _{n=0}^{\infty }T^{n},

де $T$ — це деякий оператор. У цьому випадку $T^{n}$ означає суперпозицію з $n$ однакових операторів $T$ . Якщо ж $T$ — елемент кільця, то $T^{n}$ означатиме $n$ -й степінь елемента $T$ .

Ряд Неймана є узагальненням поняття суми геометричної прогресії.

Основною властивістю ряду Неймана є те, що

(I-T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n},

де $I$ — одиничний елемент. У випадку операторів для цього достатньо того, щоб лінійний обмежений оператор $T$ , що діє в банаховому просторі $X$ , мав норму або спектральний радіус, менший від одиниці. Так, у разі матриць цей ряд дозволяє обернути матрицю вигляду $I-F$ , де $\lambda _{max}(F)<1$ — найбільше власне значення матриці $F$ .

У разі кільця з одиницею конструкція, аналогічна ряду Неймана, дозволяє обертати елементи вигляду $1-p$ , де $p$ — нільпотент. У цьому випадку ряд Неймана набуває вигляду скінченної суми