PROFILPELAJAR.COM

Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі — розподіл $\gamma$ на локально компактній сепарабельній метричній абелевій групі $X$ , який задовольняє наступним умовам:

(i) $\gamma$ — безмежно подільний розподіл;

(ii) якщо $\gamma =e(F)*\nu$ , де $e(F)$ — узагальнений розподіл Пуассона, асоційований з мірою $F$ , а $\nu$ — безмежно подільний розподіл, то міра $F$ вироджена в нулі.

Для групи $X=\mathbb {R} ^{n}$ це визначення збігається з класичним. Носій розподілу Гауса $\gamma$ — клас суміжності деякої зв'язної підгрупи групи $X$ .

Нехай $Y$ — група характерів групи $X$ . Розподіл $\gamma$ на групі $X$ є розподілом Гауса тоді і лише тоді, коли його характеристична функція може бути представлена у вигляді

${\hat {\gamma }}(y)=(x,y)\exp\{-\varphi (y)\}$ ,

де $(x,y)$ — значення характеру $y\in Y$ на елементі $x\in X$ , а $\varphi (y)$ — неперервна невід'ємна функція на $Y$ , яка задовольняє рівнянню

$\varphi (u+v)+\varphi (u-v)=2[\varphi (u)+\varphi (v)],u,v\in Y$ (^[1]).

Розподіл Гауса називається симетричним, якщо $x=0$ . Нехай $\Gamma (X)$ — множина розподілів Гауса на групі $X$ , $\Gamma ^{s}(X)$ — множина симетричних розподілів Гауса на групі $X.$ Розподіл $\gamma \in \Gamma ^{s}(X)$ є неперервним гомоморфним образом розподілу Гауса у лінійному просторі (скінченновимірному $\mathbb {R} ^{n}$ або нескінченновимірному $\mathbb {R} ^{\infty }$ — просторі всіх послідовностей з топологією покоординатної збіжності) (^[2], ^[3]).

Якщо розподіл $\gamma$ можна вкласти в неперервну однопараметричну півгрупу $\gamma _{t},t\geq 0$ , розподілів на $X$ , то $\gamma \in \Gamma (X)$ тоді і лише тоді, коли

$\lim _{t\rightarrow 0}{\gamma _{t}(X\backslash U) \over t}=0$ для будь-якого околу нуля $U$ групи $X$ (^[4]).

Нехай $X$ — зв'язна група, $\gamma \in \Gamma (X)$ . Якщо група $X$ не локально зв'язна, то $\gamma$ сингулярний (відносно міри Хаара на $X$ ) (^[2], ^[3]). Якщо $X$ локально зв'язна і має скінчену розмірність, то $\gamma$ або абсолютно неперервний, або сингулярний. Питання про справедливість аналогічного твердження на локально зв'язних групах нескінченої розмірності відкритий, хоча на таких групах можна побудувати як абсолютно неперервні, так і сингулярні розподіли Гауса.

На зв'язних групах скінченої розмірності справедлива альтернатива, яка має місце для розподілів Гауса у векторному просторі — будь-які два розподіли Гауса або взаємно абсолютно неперервні, або взаємно сингулярні (^[2], ^[3]).

Справедливою є наступна теорема (^[5]), яку можна розглядати як аналог теореми Крамера про розклад нормального розподілу для локально компактних абепевих груп.

Теорема Крамера про розклад розподілу Гауса для локально компактних абелевих груп

Нехай випадкова величина $\xi$ приймає значення в локально компактній абелевій групі $X$ та має розподіл Гауса. Нехай також $\xi$ може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин $\xi =\xi _{1}+\xi _{2}$ . Випадкові величини $\xi _{1}$ та $\xi _{2}$ мають розподіли Гауса тоді і лише тоді, коли група $X$ не містить підгрупи, топологічно ізоморфної групі обертів кола, тобто мультиплікативній групі комплексних чисел, модуль яких дорівнює 1.