Пропага́тор або фу́нкція поши́рення — функція, що задає амплітуду ймовірності переходу квантової частинки, яка перебувала в певний момент часу в однієї точці простору, в іншу в інший момент часу.

Пропагатор є функцією Гріна рівняння Шредінгера. Пропагатори використовуються для функціонального формулювання квантової механіки, в якому застосовуються інтеграли Фейнмана.

Пропагатор визначається, як матричний елемент оператора еволюції

${\displaystyle K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })=\langle x|{\hat {S}}(t,t^{\prime })|x^{\prime }\rangle }$,

де пропагатор позначений K, оператор еволюції ${\displaystyle {\hat {S}}}$, а ${\displaystyle |x\rangle }$ — власна функція оператора координати.

В нерелятивістській квантовій механіці пропагатор задовольняє рівнянню

${\displaystyle \left({\hat {H}}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')}$,

де ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамільтоніан, ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка.

Хвильова функція частинки в момент часу t виражається через хвильову функцію в момент часу ${\displaystyle t^{\prime }<t}$ з використанням пропагатора через формулу

${\displaystyle \psi (x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })\psi (x^{\prime },t^{\prime })dx^{\prime }}$

Для вільної частинки, яка рухається в тривимірному просторі пропагатор має вигляд

${\displaystyle K(\mathbf {r} ,t;\mathbf {r} ^{\prime },t^{\prime })=K(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime },t-t^{\prime })=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar (t-t^{\prime })}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {im(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })^{2}}{2\hbar (t-t^{\prime })}}\right)}$,

де m — маса частинки.

Ця формула описує розпливання хвильового пакета з часом.

Цей розділ потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення його перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цей розділ, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (липень 2015)

У квантовій теорії поля пропагатором для коваріантного поля народження і знищення

${\displaystyle \ {\hat {\Psi }}_{l}(x)=\sum _{\sigma }\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )e^{-ipx}u_{l}^{\sigma }(\mathbf {p} )+{\hat {b}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} )e^{ipx}v_{l}^{\sigma }(\mathbf {p} )\right)}$,

де ${\displaystyle \ l}$ - спінорний індекс, що відповідає спіну (спіральності) ${\displaystyle \ s}$ поля як представлення групи Пуанкаре, ${\displaystyle \ \sigma }$ - поляризації (${\displaystyle \ 2s+1}$ поляризацій для масивного випадку, 1 поляризація для безмасового випадку без інваріантності представлення відносно дискретних симетрій групи Лоренца та 2 поляризації для безмасового випадку із інваріантністю відносно вказаних дискретних симетрій),

(у координатному представленні) називається^[1] вираз

${\displaystyle \ -iD_{lm}^{c}(x-y)=\langle 0|{\hat {T}}\left({\hat {\Psi }}_{l}(x),{\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(y)\right)|0\rangle \qquad (1)}$.

Тут ${\displaystyle \ {\hat {T}}({\hat {A}}(x){\hat {B}}(y))=\theta (x_{0}-y_{0}){\hat {A}}(x){\hat {B}}(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0}){\hat {B}}(y){\hat {A}}(x)}$,

де ${\displaystyle \ \pm }$ обирається в залежності від типу комутаційних співвідношень для операторів полів ${\displaystyle \ {\hat {A}}(x),{\hat {B}}(y)}$ - відповідно комутаційних чи антикомутаційних.

Обмежимось пропагатором для вільної теорії. Враховуючи, що при дії на вакуум маємо ${\displaystyle \ {\hat {a}}|0\rangle ={\hat {b}}|0\rangle =0}$, вираз ${\displaystyle \ (1)}$ можна переписати як

${\displaystyle \ -iD_{lm}^{c}(x-y)=\theta (x_{0}-y_{0})\langle |[{\hat {\Psi }}_{l}^{+}(x),({\hat {\Psi }}_{m}^{+})^{\dagger }(y)]_{\pm }|\rangle \pm \theta (y_{0}-x_{0})\langle |[({\hat {\Psi }}_{m}^{-})^{\dagger }(y),{\hat {\Psi }}_{l}^{-}(x)]_{\pm }|\rangle \qquad (2)}$,

де ${\displaystyle \ \pm }$ визначає антикомутатор чи комутатор відповідно. Використовуючи (анти)комутаційні співвідношення на оператори народження і знищення

${\displaystyle \ [{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {a}}_{\sigma '}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {b}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma '}^{\dagger }(\mathbf {k} )]_{\pm }=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {k} )\delta _{\sigma \sigma '},\quad [{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {b}}_{\sigma '}(\mathbf {k} )]_{\pm }=[{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ),{\hat {a}}_{\sigma '}(\mathbf {k} )]_{\pm }=...=0}$,

можна отримати вираз

${\displaystyle \ -iD_{lm}^{c}(x-y)=-iP_{lm}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right)D^{c}(x-y)\qquad (3)}$,

де

${\displaystyle \ P_{lm}\left(p\right)=\sum _{\sigma }u_{l}^{\sigma }(p)(u_{l}^{\sigma })^{\dagger }(p)}$,

а

${\displaystyle \ D^{c}(x-y)=i\theta (x_{0}-y_{0})D_{m}(x-y)+i\theta (y_{0}-x_{0})D_{m}(y-x),\quad D_{m}(x-y)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}2p_{0}}}e^{ip(x-y)}}$ -

пропагатор для клейн-гордонівського поля спіну 0. Як можна показати, він задовольняє рівнянню

${\displaystyle \ \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{c}(x-y)=\delta (x-y)}$,

тому його можна представити як

${\displaystyle \ D^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{p^{2}-m^{2}-i0}}}$.

Тому, нарешті, вираз ${\displaystyle \ (3)}$ переписується як

${\displaystyle \ D_{lm}^{c}(x-y)=P_{lm}\left(i{\frac {\partial }{\partial x}}\right){\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{p^{2}-m^{2}-i0}}={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {P_{lm}\left(p\right)e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{p^{2}-m^{2}-i0}}}$.

Для найпростіших теорій (скалярної, діраківської, масивного бозону спіну 1 і безмасового бозону спіральності 1) маємо, з відомих виразів для сум по поляризаціям,

${\displaystyle \ D_{lm}^{sc.}(x-y)=D^{c}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{m^{2}-p^{2}-i0}}}$,

${\displaystyle \ D_{lm}^{d.}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{m^{2}-p^{2}-i0}}}$,

${\displaystyle \ D_{lm}^{pr.}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}\left(g_{\mu \nu }+{\frac {\partial _{\mu }\partial _{\nu }}{m^{2}}}\right)\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{m^{2}-p^{2}-i0}}}$,

${\displaystyle \ D_{lm}^{el.}(x-y)={\frac {i}{(2\pi )^{4}}}g_{\mu \nu }\int {\frac {e^{-ip(x-y)}d^{4}p}{-p^{2}-i0}}}$.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

1. ↑ Загальний вигляд матричних елементів^{[недоступне посилання]}

• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М. : Наука, 1984. — 600 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М. : Наука, 1978. — 296+408 с.
• Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М. : ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1984. — 448+400 с.
• Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск : РХД, 2001. — 784 с.
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1987. — 512 с.