Анрієтта Марі Луїза Бюргар народилася 18 вересня 1904 році в місті Оран у Французькому Алжирі в сім'ї вихідців з Ельзасу. Від назви міста, в якому народилася та іншого міста, Мазі, розташованого неподалік Магнії[5], Анрієтта сформувала свій сценічний псевдонім.У 1919 році поступила до Вищої національної консерваторії драматичного мистецтва, після закінчення якого у 1922 році її було прийнято в трупу паризького театру Atelier під керівництвом режисера Шарля Дуллена.
Знайомство Оран Демазі у 1923 році з Марселем Паньолем стало поворотним моментом в її акторській кар'єрі. Після низки успішних ролей в театрі, створених для неї Паньолем, Оран Демазі дебютувала у 1931 році в кіно, зігравши найвідомішу свою роль Фанні у марсельській трилогії Паньоля: «Маріус» (1929, реж. Александр Корда), «Фанні» (1931, реж. Марк Аллегре) і «Сезар» (1936, реж. М. Паньоль).