Оператор у квантовій механіці — це лінійне відображення, яке діє на хвильову функцію, яка є комплекснозначною функцією, що дає найбільш повний опис стану системи. Оператори позначаються великими латинськими літерами з циркумфлексом угорі. Наприклад:

${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},\dots }$

Оператор діє на функцію, яка стоїть праворуч від нього (кажуть також, що він застосовується до функції або множиться на функцію):

${\displaystyle {\hat {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}}$

У квантовій механіці використовується математична властивість лінійних самоспряжених (ермітових) операторів, яка полягає в тому, що кожен з них має власні вектори і власні дійсні значення. Вони виступають у ролі відповідних даному оператору значень фізичних величин.

Оператор ${\displaystyle {\hat {C}}}$ називається сумою (різницею) операторів ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$, якщо для будь-якої функції ${\displaystyle \ \Psi }$ з області визначення всіх трьох операторів виконано умову:

${\displaystyle {\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi }$

Оператор ${\displaystyle {\hat {C}}}$ називається добутком операторів ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$, Якщо для будь-якої функції ${\displaystyle \ \Psi }$ виконано умову:

${\displaystyle {\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}({\hat {B}}\Psi )}$

В загальному випадку

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\not ={\hat {B}}{\hat {A}}}$

якщо ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}{\hat {A}}}$, то кажуть, що оператори ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ комутують. Комутатор операторів визначається як

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Якщо має місце рівність:

${\displaystyle {\hat {A}}\Psi =a\Psi ,}$

то ${\displaystyle \ a}$ називають власним значенням оператора ${\displaystyle {\hat {A}}}$, а функцію ${\displaystyle \ \Psi }$ — власною функцією оператора ${\displaystyle {\hat {A}},}$ яка відповідає цьому власному значенню. Найчастіше в оператора є множина власних значень: ${\displaystyle \ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},\dots }$ Множина всіх власних значень називається спектром оператора.

Оператор ${\displaystyle {\hat {L}}}$ називається лінійним, якщо для будь-якої пари ${\displaystyle \varphi _{i},C_{i}}$ виконується умова:

${\displaystyle {\hat {L}}\sum _{i}C_{i}\varphi _{i}=\sum _{i}C_{i}{\hat {L}}\varphi _{i}.}$

Оператор ${\displaystyle {\hat {A}}}$ називається самоспряженим (ермітовим), якщо для будь-яких ${\displaystyle \Psi ,\varphi }$ виконується умова:

${\displaystyle \left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle }$

При цьому сума самоспряжених операторів є самоспряженим оператором. Добуток самоспряжених операторів є самоспряженим оператором, якщо вони комутують. Власні значення самоспряжених операторів завжди дійсні. Власні функції самоспряжених операторів, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Основними характеристиками фізичної системи у квантовій фізиці є спостережувані величини і стани.

У квантовій фізиці спостережуваним величинам зіставляються лінійні самоспряжені оператори в комплексному сепарабельному гільбертовому просторі, станам — класи нормованих елементів цього простору (з нормою 1). Це робиться переважно з двох причин:

• Власні значення самоспряжених операторів, що відповідають конкретним значенням фізичних величин, є дійсними числами, тобто тим, з чим на практиці мають справу експериментатори (покази приладів, результати обчислень тощо).

• Одна й та сама квантова частинка може перебувати одночасно у множині квантових станах, які й характеризуються множиною власних значень відповідного оператора. Це може бути скінченна множина (дискретний спектр значень), інтервал (неперервний спектр значень) або змішана множина.

У квантовій фізиці існує «нестроге» правило для побудови оператора фізичних величин: співвідношення між операторами в цілому таке ж, як між відповідними класичними величинами. Ґрунтуючись на цьому правилі, було введено такі оператори (в координатному поданні):

• Оператор координат:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=x}$

Дія оператора координат полягає у множенні на вектор координат.

• Оператор імпульсу:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$

Тут ${\displaystyle \ i}$ — уявна одиниця, ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла.

• Оператор кінетичної енергії:

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

тут ${\displaystyle \hbar }$ — стала Дірака, ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа.

• Оператор потенціальної енергії:

${\displaystyle {\hat {U}}=U(x,y,z,t)}$

Дія оператора тут зводиться до множення на функцію.

• Оператор Гамільтона:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {U}}}$

• Оператор моменту імпульсу:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar [\mathbf {r} ,\nabla ]}$

Такий вигляд було обрано також з причин, пов'язаних з теоремою Нетер і групою SO(3)

• Оператор спіну:

У найважливішому випадку спіну 1/2 оператор спіну має вигляд: ${\displaystyle {\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}}$, де

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ — так звані матриці Паулі. Цей вигляд аналогічний попередньому, але пов'язаний з групою SU(2).

• Картина Гейзенберга
• Картина Шредінгера
• Гамільтоніан
• Оператор (математика)

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика^[ru]», в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., Москва, Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
2. «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн, Москва, «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;