Ознака подільності - алгоритм, що дозволяє порівняно швидко визначити, чи є число кратним заздалегідь заданому. Якщо ознака подільності дозволяє з'ясувати не тільки подільність числа на заздалегідь заданий, але і залишок від ділення, то його називають 'ознакою рівноостаточності'.

Як правило, ознаки подільності застосовуються при ручному рахунку і для чисел, представлених в конкретній позиційній системі числення (зазвичай десяткового).

Ця стаття містить текст, що не відповідає енциклопедичному стилю. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, погодивши стиль викладу зі стилістичними правилами Вікіпедії. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (вересень 2012)

Ознака

На 2 ділиться без остачі будь-яке ціле число, остання цифра якого парна (0, 2, 4, 6, 8) (наприклад: 58/2=29, 1004/2=502).

Доведення: будь-яке ціле число можна представити у вигляді суми першого розряду та решти числа. Нехай |a|=b₁+10b₂, де b₁ — перший розряд a, b₂ — число, що складається з решти розрядів a. Якщо поділити a на 2, то вираз b₁+10b₂ можна розписати, як b₁/2+10b₂/2, або b₁/2+5b₂. Отже b₁ має націло ділитись на 2. Оскільки воно лежить в межах від 0 до 9, і є натуральним числом, то воно може бути одним з п'яти наступних чисел: 0, 2, 4, 6, 8.

Число ділиться на 3 тоді, коли сума його цифр ділиться на 3. Наприклад: 57 в сумі має цифру 12. 12:3 = 4, отже число ділиться на 3

Число ділиться на 4 тоді, коли його останні дві цифри утворюють число подільне на 4 (наприклад: 128/4 = 32) або коли дві останні цифри нулі.

Ознака

На 5 ділиться будь-яке ціле число, остання цифра якого дорівнює 5 або 0 (наприклад: 65/5=13, 783910/5=156782).

Доведення

Нехай a=b₁+10b₂, де b₁ — перший розряд a, а b₂ — число, що складається з решти розрядів числа a. Якщо a поділити на 5, то вираз b₁+10b₂ можна переписати так: b₁/5+10b₂/5, або так b₁/5+2b₂. Отже b₁ має націло ділитися на 5. Оскільки b₁ натуральне та лежить в межах від 0 до 9, то воно може набирати одне з двох значень: 0 або 5.

Ознака

Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 та на 3.

Число 7 буде дільником заданого числа у випадку якщо виконується одне з правил: Якщо потроєна сума десятків разом з одиницями ділиться на 7. Наприклад, перевіримо число 112 за ознаками подільності 3*11+2=35; 35/7=5. Правило виконується, отже 112 ділиться на 7. Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр та числа з двох останніх цифр ділиться на 7. Наприклад, 168 ділиться на 7, оскільки 2*1+68=70; 70 /7 = 10. Якщо сума чисел: числа без останньої цифри, та останньої цифри помноженої на 5, ділиться на 7. Наприклад, 161 ділиться на 7, оскільки 16+5*1=21; 21/7 =3 ділиться на 7 націло.

Ознака

Число ділиться на 8 тільки тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами, ділиться на 8. (наприклад: 128/8 = 16, 1800 / 8 = 225).

Доведення

Діємо аналогічно випадку для подільності на 4. Представимо число N у вигляді A*1000 + B. Оскільки 1000 ділиться на 8, то число N ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 8. Але саме B і є числом, утвореним трьома останніми цифрами числа N.

Ознака

Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, якщо сума його цифр у десятковому запису ділиться на 9 (наприклад: 333/9 = 37, 1111111101 / 9 = 123456789).

Доведення

Будь-яке число А можна представити у вигляді А = a₀*10^k + a₁*10^{k — 1} + … + a_k-1*10¹ + a_k*10⁰, де a₀, a₁,.., a_k — цифри числа А з найбільш значущої до найменш значущої (розряду одиниць). Сума декількох чисел ділиться на число Y тоді і тільки тоді, коли сума залишків цих чисел при діленні на Y також ділиться на Y. Іншими словами:

(x₀ + x₁ + … + x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) + (x₁ mod Y) + … + (x_k mod Y)) mod Y.

Аналогічне співвідношення виконується і для множення:
(x₀ * x₁ * … * x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) * (x₁ mod Y) * … * (x_k mod Y)) mod Y.

Останнім кроком у нашому доведенні буде помітити, що усі ступені числа 10 (1, 10, 100, 1000, …) дають у залишку 1 при діленні на 9. Отже: А mod 9 = (a₀*10^k + a₁*10^{k — 1} + … + a_{k  -1}*10¹ + a_k*10⁰) mod 9 = (((a₀*10^k) mod 9) + ((a₁*10^{k — 1}) mod 9) + … + ((a₁*10¹) mod 9) + ((a_k*10⁰) mod 9)) mod 9 = (a₀ + a₁ + … + a_{k — 1} + a_k) mod 9,

що необхідно було довести.

Ознака

Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, якщо остання його цифра — 0. ('наприклад: 370/10 = 37, 1111111110 / 10 = 111111111).

Доведення

Оскільки кожне число N = A * 10 + B, де B — його остання цифра, то N ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 10. Оскільки B — цифра від 0 до 9, то для того, щоб ділитись на 10, B має бути нулем.

Зауваження

За допомогою ознак подільності, які отримані з перетворення виразу N = 10A + B, не можна дізнатися модуль числа N, якщо ${\displaystyle \ N\equiv m_{1}{\pmod {m}}}$, де

${\displaystyle m_{1}\in \ {0,1,2,...,N-1}}$

Наприклад, ознака подільності числа N на 7:

${\displaystyle \ N\equiv (A+5*B){\pmod {7}}}$

Працює лише для ${\displaystyle \ N\equiv 0{\pmod {7}}}$, тому що отримана з рівності:

${\displaystyle \ N=7(A-2B)+3(A+5B)}$

Отже, для ${\displaystyle \ N\equiv m_{1}{\pmod {m}}}$ має виконуватися рівність:

${\displaystyle \ 3(A+5B)\equiv m_{1}{\pmod {7}}.}$

• Подільність
• Таблиця дільників

• Воробьёв Николай Николаевич. Признаки делимости. — 4-е, исправленное. — Москва : «Наука», 1988. — 96 с. — («Популярные лекции по математике», выпуск 39) — 165 000 прим. — ISBN 5-02-013731-6. (рос.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.